第4章 轴向拉伸与压缩

4.1第4章轴向拉伸和压缩§4.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§4.2截面法、轴力与轴力图§4.3横截面上的应力§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律小结§4.5材料在轴向拉压时的力学性能§4.6轴向拉压杆的强度计算§4.7拉压超静定问题简介§4.8压杆稳定的概念☆分析轴向拉（压）时杆件的受力特点和变形情况，介绍材料力学分析内力的基本方法——截面法。☆通过对拉（压）杆的应力和变形分析，解决拉（压）杆的强度和刚度计算问题。4.2§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例联接螺栓、起重机的钢丝绳及吊钩头部都承受拉力作用，而桥墩、门座起重机的臂架以及建筑物的立柱都承受压力作用。4.3☆轴向拉伸与压缩的概念以汽缸的活塞杆为例。观察活塞杆在工作时受什么样的外力作用？它可能发生什么样的变形？通过观察分析可知，杆件的受力特点是：作用在杆端的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称轴向拉伸与压缩。§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例4.4§4.1轴向拉伸与压缩的概念与实例4.5§4.2截面法、轴力与轴力图4.2.1内力的概念☆内力：为保持物体的形状和尺寸，物体内部各质点间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。☆材料力学中的内力是指在外力作用下，构件杆件内部各质点之间相互作用力的改变量，称为“附加内力”，简称“内力”。观察一下手拉弹簧动画，将有助于理解材料力学中关于内力的概念。4.6（1）截开在想要计算内力的那个截面，假想将杆件截开，留下研究对象，弃去另一部分。（2）替代以作用力（即欲求算的内力）替代弃去部分对研究对象的作用。（3）求算画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力。＊轴力：由于外力的作用线与杆的轴线重合，内力的作用线也必通过杆件的轴线并与横截面垂直，故轴向拉伸或压缩时杆件横截面上的内力称为轴力。☆轴力正负号规定：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为正，反之为负。既杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。一般计算时可先假设轴力为正，再由计算结果确定其实际方向。4.2.2截面法轴力与轴力图＊截面法：所谓截面法，是用假想截面将杆件在所需部位截开来，然后用平衡方程由外力求算内力的方法。用截面法求算内力的步骤：§4.2截面法、轴力与轴力图4.7例4.1直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN，F2=10kN，F3=20kN，试求出直杆AD的轴力图。＊轴力图：用平行于杆件轴线的x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的纵坐标FN表示对应横截面上的轴力，所绘出的轴力随横截面位置变化的函数图线称为轴力图。FN是横截面位置坐标x的函数。即)(xFFNN§4.2截面法、轴力与轴力图F2xFN(x)-++14KN6KN16KN4.8将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分别用FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设为拉力，由平衡方程分别求得：kN1611FFN61016212FFFNkN143DNFFkN0xF0321FFFFD23114DFFFFkN解：（1）计算D端支座反力。由整体受力图建立平衡方程：§4.2截面法、轴力与轴力图(2）分段计算轴力F24.9①☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；可见内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。☆杆件横截面上内力的大小及其在杆件内部的分布规律随外力的改变而变化，若内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。总结：§4.2截面法、轴力与轴力图②内力随外力增大而增大外力消失，内力也消失。直接利用外力计算轴力的规则杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等于截面一侧（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背离截面时取正号，外力指向截面时取负号。4.10例4.2钢杆上端固定，下端自由，受力如图所示。已知l=2m，F=4kN,q=2kN/m，试画出杆件的轴力图。§4.2截面法、轴力与轴力图0xF0qxFFN（0≤x≤2）xqxFFN24解以B点为坐标原点，BA为正方向建立x轴；将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。由BC受力图建立平衡方程：由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力图为一斜直线。当x＝0时，FN＝4kN；当x＝2m时，FN＝8kN。画出轴力图如图所示，FN.max＝8kN，发生在截面A上。.FN4.11§4.3横截面上的应力4.3.1应力的概念杆件强度的大小与分布内力在截面上每一点处的集度有关。＊应力：分布内力在截面上某一点处的集度称为应力。为确定杆件某一截面m-m（上任意一点K处的应力，在截面上任一点K周围取微小面积,设ΔA,设ΔA面积上分布内力的合力为,则比值称为面积上的平均应力。用pm表示,RFAFR即AFpRm4.12☆p称为点处的应力，它是一个矢量，通常可分解为与截面垂直的分量和与截面相切的分量。称为正应力；称为剪应力。应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。一般情况下分布内力并非均匀分布的，故将比值在所取的无限地趋近于零的极限值。用p表示：AAApRFlim0AFR§4.3横截面上的应力4.13两横截面A和B，杆件发生伸长变形后，平行移动到A´和B´位置（图b），且仍与杆轴线垂直。观察杆件受轴向拉伸时的变形情况。§4.3横截面上的应力4.3.2横截面上的正应力4.14☆根据上述观察分析，可作如下假设：横截面在杆件变形后仍保持为垂直于杆轴线的平面，仅沿轴线产生了相对平移。☆横截面上的正应力：横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上的轴力FN一致，且垂直于横截面，故称为正应力。其计算公式为AFN式中A为杆横截面面积。§4.3横截面上的应力4.15例4.3如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN的作用。已知h＝25mm，h0=10mm，b=20mm。求杆内最大正应力。解:（1）计算轴力。用截面法求得各截面上的轴力均为kN20FFN(2)计算最大正应力。开槽部分的横截面面积为mm)(300201025)bh(hA0则杆件内的最大正应力为MPa.Pa.Nmax76610766103001020663AFσmax§4.3横截面上的应力负号表示最大应力为压应力。4.1622mm300,mm500CDBCABAAA解：1.作轴力图用截面法分段求轴力，并作轴力图如图b所示。2.计算最大正应力经过分析可知，AB和CD段内横截面上可能产生最大正应力（绝对值）。例4.4阶梯杆自重不计，受外力如图a所示，试求杆内的最大正应力。已知其横截面面积分别为。可见AB段内横截面上的正应力最大，其值为40MPa。MPa3.33MPa3001010MPa40MPa500102033CDNCDCDABNABABAFAF§4.3横截面上的应力4.174.4.1纵向线应变和横向线应变杆件受拉作用时的变形设原长为l，直径为d的圆截面直杆，受轴向拉力F后变形，其杆纵向长度由l变为l1，横向尺寸由d变为d1，则杆的纵向绝对变形为lll1杆的横向绝对变形为ddd1§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律4.18☆注意：同样的绝对变形，发生在不同的原始尺寸下，变形的程度显然是不一样的。为反映杆件的变形程度，通常用单位长度的相对变化来度量，称为线应变（或正应变），即杆的纵向线应变ll杆的横向线应变dd§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律☆线应变表示杆件的相对变形。的正负号分别与的正负号一致。dl,,☆当应力不超过某一限度时，存在正比关系，且符号相反。即：。v称为材料的横向变形系数，或称泊松比。,v4.19常数E称为材料的弹性模量。☆胡克定律的另一表达式为EAlFlN上式表明：（1）弹性模量E表征了材料抵抗拉伸压缩变形的性能，是材料的刚性指标。（2）乘积EA反映杆件抵抗拉伸压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。☆上式的适用条件为：（1）杆件的变形应在线弹性范围内；（2）在长为l的杆段内，、E、A均为常量。§4.4轴向拉压杆的变形胡克定律4.4.2胡克定律ENF4.20解:（1）作轴力图。用截面法求得CD和BC段轴力kN，AB段的轴力为kN。20ABNF（2）计算各段杆的变形量。m.56931021050010200101020ABABABNABEAlFΔlm.56931011050010200101010BCBCBCNBCEAlFΔlm..5693106711030010200101010CDCDCDNCDEAlFΔl10BCNCDNFF(3)计算杆的总变形量。mm.).(0067010671125CDBCABΔlΔlΔlΔl4.4轴向拉压杆的变形胡克定律例4.5阶梯状直杆受力如图所示，试求杆的总变形量。已知其横截面面积分别为ACD=300mm2,AAB=ABC500mm2,E=200GPa。4.21§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.5.1拉伸试验和应力－应变曲线轴向拉伸试验：圆截面拉伸标准试样，试验段长度l为标距，两端为装夹部分；标距l与杆径d之比取。10/dl试验机上的绘图装置自动绘出载荷F与相应伸长变形的关系曲线，称为拉伸图或F－曲线。ll4.22试验机§4.5材料在轴向拉压时的力学性能4.23§4.5材料在轴向拉压时的力学性能为消除试样横截面尺寸和长度的影响，将F－曲线的纵坐标F和横坐标分别除以试件的原始横截面面积和原始标距得到曲线，称为应力-应变曲线。llAl4.244.5.2低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时表现出来的力学性能具有典型性。由上图的曲线可以看出，整个拉伸过程大致分为以下四个阶段：(1)弹性阶段＊拉伸的初始阶段（OA），曲线为一直线，直线段最高点A所对应的应力称为比例极限，用表示。PP＊应力与应变成正比，即满足胡克定律。,弹性模量E是直线OA的斜率，E即。tanE＊图中的A段，应力超过比例极限，与不再是线性关系。但当应力不超过点所对应的应力时，卸载后，变形仍可完全消失，这种变形为弹性变形，称为弹性极限。PAeeA§4.5材料在轴向拉压时的力学性能σPσe4.25＊材料屈服会产生显著的塑性变形，并影响构件的正常工作。故将屈服极限作为极限应力或危险应力。(2)屈服阶段＊当应力超过点增加到某一数值时，在曲线上出现锯齿形线段BC，此时应力几乎不变，而应变却显著增大，暂时失去抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。＊屈服阶段的变形主要是不可恢复的塑性变形。屈服阶段的最小应力值较为稳定，用称为屈服点应力。低碳钢的屈服点应力＝220～240MPa。表面磨光的试件屈服时，在试件表面上可看到与轴线大致成45°的条纹。条纹是材料沿最大切应力面发生滑移而产生，通常称为滑移线。＊应力超过弹性极限后，若再卸载，则试件的变形中只有一部分能随之消失，此即上述的弹性变形；但还留下一部分不能消失，此即为塑性变形或残余变形。Aεσsss§4.5材料在轴向拉压时的力学性能σPσe4.26(3)强化阶段＊屈服阶段后，材料抵抗变形的能力有所恢复，在曲线上自C点开始继续升高到D为止。这种材料又恢复抵抗变形的能力的现象称为材料的强化。＊CD段称为材料的强化阶段。曲线最高点D对应的应力值用表示，称为材料的抗拉强度，它是材料所能承受的最大应力。低碳钢的抗拉强度＝370～460MPa。bb＊在超过屈服极限后，卸载后重新加载时，材料的比例极限有所提高，而塑性变形减小，这种现象称为冷作硬化。工程上常用冷作硬化来提高材料的强度，提高构件的承载能力。如预应力钢索和钢筋等，常用冷拉工艺来提高强度，从而节