数学必修一第一章知识汇总

第一章集合与函数一、集合1、集合的含义与表示（1）集合与元素的关系属于：∈不属于：（2）常用数集及符号表示正整数集合N*自然数集合N整数集合Z有理数集合Q实数集合R（3）集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性（4）集合的表示方法：列举法和描述法例题：1、由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2、已知集合A={y|y=x2+1}，B={x|y=x2+1}，C={（x,y）|y=x2+1}，则（）A.A=BB.B=CC.A=CD.A≠B≠C3、已知2625,121Aaaa，，且A3，求实数a的值。4、用列举法表示下列集合（1）15的正约数组成的集合；（2）平方后仍为原数的数组成的集合；（3）M＝{(x，y)|y=x2-1，|x|≤2，x∈Z}；（4）已知集合C＝61＋x∈Z|x∈N，求C.5、用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x－65的解集；(4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．（选做）已知集合}023|{2xaxxA，（1）若A中只有一个元素，求a的取值范围。（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围。（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围。2、集合间的基本关系（1）一般地，对于A,B两个集合，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：BA(或AB)读作：“A包含于B”（或“B包含A”）（2）如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作:A=B（3）如果BA，但存在元素Bx，且Ax，我们称集合A是集合B的真子集，记作：AB，(或BA)（4）不含任何元素的集合叫做空集，记作：（5）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（6）任何一个集合是它本身的子集，即AA,对于集合A、B、C,若AB且BC，则AC。例题：1、如下四个结论：①；②0；③{}0⊆Φ；④0，其中正确的是（）A只有①与②B只有①与③C只有②与③D全部正确2、写出集合2,1,0的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集数呢？3、已知集合M满足5,4,3,2,12,1M，写出集合M4、已知,0652xxxA1mxxB，若AB求实数m所构成的集合M.5、若集合A={1,3，x}，B＝｛x2，1｝，且BA，求满足条件的实数x的值.6、若集合A＝｛x|1|x|≤2｝，B＝{x|xa｝，AB，求实数a的取值范围.7、含有三个实数的集合可表示为1,,aba，也可表示为0,,2baa，求ba,3、集合的运算（1）一般的，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作BA(读作“A并B”)，即BA={x|x∈A或x∈B}.（2）由属于属于集合A并且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作BA(读作“A交B”)，即BA={x|x∈A且x∈B}.（3）AAA，AAA，A，AA.（4）若BA,则BA=A，BA=B，BAA，BAB，ABA，BABA.（5）一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作：U。（6）对于一个集合A，由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U且xA}.（7）补集与全集的性质：⑴UCU=⑵CU=U⑶UUCCA=A⑷AUCA=U⑸AUCA=.例题：1、求下列两个集合的交集和并集⑴54321，，，，A，3,2,1,0,1,2,3B;⑵26|xxA，5|xxB.2、已知全集U,集合1,3,5,7,9A,UCA2,4,6,8,1,4,6,8,9UCB，求集合B。3、已知全集Ux|4x，集合Ax|23x,Bx|33x,求UCA,,(),UABCAB()UCAB,().UCAB4、已知集合|22Axaxa，|12Bxx，且RACB是的真子集，求实数a的取值范围。5、已知集合2|0,Axxbxc2|60Bxxmx，若ABB,2AB，求实数b,c,m.（选做）设22|40,|21AxxxBxxax21a0.⑴若BBA，求a的值；⑵若BBA，求a的值。（文氏图参看三级跳第5页）二、函数1、函数的概念（参看课本）2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则3、区间的写法例题：1、把下列数集用区间表示（1）8xx（2）6-xx（3）188-xx（4）422-8-xxx或（5）R2、对应关系是否为A到B的函数(1)Rxxxx,0,25(2)A=Z，B=Z，f:3xyx;(3)集合,1,1,BRA对应关系:f当x为有理数时，1xf；当x为无理数时，1xf；(4)A=[-2,2]，B=[-3,3]，f:BA,求2xy；3、已知f（x）=x2+x-1，求：（1）f（2）;（2）f（x1＋1）：（3）若f（x）＝5，求x的值2、求下列函数的定义域（1）xxxy12132（2）2362xxxf（3）xxxy||)32(0（4）2253xxy5、下列各题中两个函数是否相等（1）2,xxgxxf（2）2,xxgxxf（3）33,xxgttf（4）2,242xxgxxxf（5）82,8222tttgxxxf6、求下列函数的值域：（1）8xxf（2）562xxy（3）}4,3,2,1{,83xxy（4）212xxy（6）41,83，xxy7.）（xfy的定义域为42，，求）（3xfy的定义域4、函数的表示法：列表法、图像法、解析法5、分段函数的写法，分段函数的定义域和值域以及分段函数的不等式问题例题：1、求下列函数的解析式：（1）已知f（x）是一次函数，且f[f(x)]=4x+6,求f（x）。（2）已知：cbxaxxf2)(，若0)0(f，且1)()1(xxfxf，求)(xf（3）已知：xxxf2)1(，求)(xf的解析式2、知函数)2(2)21(12)(2xxxxxxxf（1）求)]3([ff的值；（2）若3)(af求a的值；3、设)0(10121)(xxxxxf若aaf)(，求实数a的取值范围.4、求函数)(xf＝)2(,2)2(,42xxxxx的定义域和值域．5、已知f(x)＝x2－1，g(x)＝x－1，x0，2－x，x≤0.(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)求g[f(x)]的表达式．6、（1）如果对于属于函数f(x)定义域I内的某个区间D的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f(x)在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f(x)在区间D上是减函数.（2）如果函数y=f(x)在其定义域内的某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上是单调的，这个区间叫做函数y=f(x)的一个单调区间（3）函数y=f(x)在其单调递增区间上的图像是上升，.在其单调递减区间上的图像是下降的.（4）如果函数y=f(x)的定义域就是它的一个单调区间，就说函数y=f(x)是单调函数；如果函数y=f(x)的定义域内有两个（或）两个以上的单调区间或定义域不是有单调区间构成的，就说函数y=f(x)不是单调函数.（5）若f(x),g(x)在区间D上都是增函数，则f(x)+g(x)在区间D上是增函数；若f(x),g(x)在区间D上都是减函数，则f(x)+g(x)在区间D上是减函数；若f(x)在区间D上是增函数，g(x)区间D上是减函数，则f(x)-g(x)在区间D上是增函数；若f(x)在区间D上是减函数，g(x)区间D上是增函数，则f(x)-g(x)在区间D上是减函数；例题：1、若函数(0)ykxbb为R上的减函数，那么()A.0kB.0kC.0kD.无法确定2、若(,)ab是函数y=f(x)的单调递减区间，x1,x2(a,b)，且12xx，则有（）A.12()()fxfxB.12()()fxfxC12()()fxfxD.以上都有可能3、在区间0,5上不是增函数的是（）A32yxB231yxC223yxxD2yx4、利用单调性的定义，证明函数12xxy在（-1，+）上是减函数5、证明函数1fxxx在1,上为增函数6、画出下列函数的图像并根据图像指出单调区间(12)2(2)xxx22+x(x1)（1）f(x)=x(2)15xx7、若函数2()48fxxkx在5,8上是单调函数，则k的取值范围是8、函数()yfx在R为增函数，且(2)(9)fmfm，则实数m的取值范围是9、如果二次函数232(1)yxaxb在区间,1上是减函数，那么a的取值范围是7、（1）如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x都有f（x）=f（-x），那么)(xf叫做偶函数。（2）偶函数定义域关于原点对称，图象关于y轴对称。（3）如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），那么)(xf叫做奇函数。（4）奇函数定义域关于原点对称，图象关于原点对称，若奇函数f（x）在原点有定义，则f（0）=0.（5）若xf、xg都是偶函数,那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg为偶函数；xfxg为偶函数；xf*xg为偶函数；当xg≠0时，)()(xgxf为偶函数。（6）若xf，xg都是奇函数，那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg是奇函数；xfxg是奇函数；xgxf是偶函数；当xg≠0时，是偶函数。（6）若xf是奇函数，xg是偶函数，那么在xf与xg的公共定义域上，xgxf是奇函数；当xg≠0时，是奇函数。例题：1.判断下列函数的奇偶性（1)()2fxx(2)()||2fxx(3)2()1fxx（4）2(),3,1fxxx(4)()21fxx（6）222()1xxfxx(7)0)(xf2、函数2()(2)2ayfxx是奇函数，则实数a的值是3．若函数f(x)=(m2－1)x2+(m－1)x+n+2为奇函数，则m，n的值为4.已知fx是奇函数，且当0x时，2fxxx，当0x时，fx=5.函数0fxx是奇函数，且当x0，时是增函数，若10f，求不等式102fx的解集。)()(xgxf)()(xgxf6.已知)(xf是奇函数，定义域为(-1,1)，且在[0,1)上为减函数.若(1)(13)0fafa，求a的取值范围.7.已知)(xf是偶函数，定义域为(-1,1)，且在[0,1)上为减函数.若f（1-a）f（1-3a），求a的取值范围