第十章第三节三重积分习题课剖析

曲面方程：(,),(,)zfxyxyDD:有界闭区域求曲面的面积AMAdzdnxyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd(见P99)故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,,AyxDxzDzzyxFFFF222且yxdd曲面面积221xyDAffd其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D（2）在区域D上计算二重积分：221xyDAffd同理可得设曲面的方程为：(,)xgyz曲面面积公式为：221()()yzDxxAdydzyz设曲面的方程为：(,)yhzx曲面面积公式为：221()()zxDyyAdzdxzx球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积222yxRxxz222yxRyyz222yxRxxz222yxRyyz所以22)()(12222yzxzARyxdxdyyxRRRyx2222222200222RRddR球心在原点的上半球面的方程为222yxRz而202244RRRR222002RrdrRdRr2204RRRraaxzy0222ayx222azx设圆柱面为的面积。被另一柱面所割出部分，求一柱面直交，圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相a例2.考虑第一卦限例2.D22xazaa..xzy0DyxxaaSdd28a22xayxayxaadaxdaaxoyD....22221xaazzyx.222ayx222azx设圆柱面为.的面积。被另一柱面所割出部分，求一柱面直交，圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相azzxya222yxazaaxyx221练习.求球面2222azyx含在柱面axyx22中的那部分面积.解：S为所截曲面的面积，1S为在第一卦限部分的曲面1的面积.1在面上的投影为：xoy,:22axyxDxy)0,(yx,cos0,20:aDxy即由对称性得dxdyzzSxyDyx2214xyDdxdyyxaa2224cos0220142adada)2(22axyOaa2例3.所割下部分的曲面面积被圆柱面锥面xyxyxzxyzo1所割下部分的曲面面积被圆柱面锥面xyxyxz1xyzo1.例3.xyzo11D02:22zxyxDSDyxQPSdd22yxxxzP其中22yxyyzQDyxSdd2.......所割下部分的曲面面积被圆柱面锥面xyxyxz例4.例6.a立体的整个表面积所围成与旋转抛物面半球面2322222azyxyxazyxzo例6.xyzoDS=1S2S共同的D:azyxyxaz2322222a2zayx即2S2S2S1S..1S.立体的整个表面积所围成与旋转抛物面半球面2322222azyxyxaz小结dDD一、利用可以求平面图形的面积.(,)ddDfxyv二、利用或可以求立体的体积.三、利用二重积分的元素法求曲面面积：曲面面积公式为：221()()ddxyDzzSxyxy设曲面的方程为：(,)(,),xyzfxyxyD则第十章习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法例1计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标cosR原式2033d)sin1(32RyDRxo:Dcos0R22例2.把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为:原式220d),,(yxzzyxf及平面12dxy11dx所围成的闭区域.zD1zD2例3.计算积分其中是两个球(R0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一”计算方便.zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对DdxdyyxfI),(①若D关于x轴对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf2),(2DdxdyyxfI0,),(2yDyxD②若D关于y轴对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf1),(2DdxdyyxfI0,),(),(1xDyxyxD③若D关于原点对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf3),(2DdxdyyxfI0,0,),(3yxDyxDDDdxdyxyfdxdyyxf),(),(④若D关于直线y=x对称例4.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成.yxeyxDyxdd122(2)积分域如图:o1yx11D2Dxyxy,xy将D分为,,21DDyxeyxDyxdd22200dd1112xyxx添加辅助线利用对称性,得.,),,()1(.,积分为零三重的奇函数时是关于当被积函数平面对称关于如果积分区域　　一般地zzyxfxOy其它情形依此类推.三重积分计算的简化.,),,()2(分的两倍的三重积平面上方的半个闭区域在积分为三重的偶函数时是关于当被积函数xOyzzyxf例5设有空间闭区域}0,|),,{(22221zRzyxxyx22222{(,,)|,0,0,0}xyxxyzRxyz则有（）12()4Axdvxdv12()4Bydvydv12()4Czdvzdv12()4DxyzdvxyzdvC.1:d222zyxvez，计算例6解法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz1d2dvevezz10)(d]dd[2zeyxzzD102d)1(2zezz.2所围成的．与由其中，计算22221d)(yxzyxzvzx例7解利用柱面坐标奇函数，的为面为对称，关于xxzyxfyoz),,(.0dvx有vzvzxdd)(2122020zdzdd.82a2a0xzyaraz2azr2.L)(aazyx求曲面所围体积与yxazrazzar22联立柱面坐标用哪种坐标？azarL：解得交线例8.例8.2a0xzya.Lrazazr22联立DarzD0:.raz2azr2DraarzθrrV22dddaπrrarraθ0220d)2(d..365a)(aazyx求曲面柱面坐标用哪种坐标？azarL：解得交线.所围体积与yxaz所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面xzyzzy2xzy例9.o例9.xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面xzyzzyo只能向xoz平面投影xzy2xzyzzy联立zxy得消yzzy又由得z=22,2:2zzxDxz.xzDxzzxyySddDxz..例9.所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面xzyzzyo22zzy其中，xzy2DxzxzzzSzzd21d220222zzzd16...zx2.xzyzzy联立zxy得消yzzy又由得z=222zzy.例9.所截的有限部分的面积被圆锥面求圆柱面xzyzzyxzDxzzxyySdd2,2:2zzxDxzozx2.其中，