鸽巢原理及其应用

鸽巢原理及其应用陈淑贞2011.11.22主要内容1.引言2.鸽巢原理3.鸽巢的构造及其应用4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用5.鸽巢原理的推广——Ramsey定理(介绍）1.引言鸽巢原理为组合学中的一个重要原理。鸽巢原理最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题而提出来的，所以又称为“迪里赫莱原理”，也有称“抽屉原理”的。应用它可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。它常被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用。对于一些比较特殊的问题，若用一般的数学方法去研究，很复杂或根本解决不了，但用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理也是国际国内数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具有很大的应用意义。2.鸽巢原理2.1鸽巢原理的简单形式若有n+1只鸽子飞到n个鸽巢里面，则至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子。2.2鸽巢原理的加强形式注:n+1为结论成立的最小数。将q1＋q2＋…＋qn－n＋1个物品放入n个抽屉中，则至少存在某个抽屉i（1≤i≤n）,使得这个抽屉里至少有qi个物品。注:q1＋q2＋…＋qn－n＋1为结论成立的最小数,记为N(q1,q2,…,qn;1)。显然,当q1=q2=…=qn=2时,加强形式即为简单形式。即N(q1,q2,…,qn;1)=q1+q2+…+qn-n+1.推论1n·(r-1)＋1只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有r只鸽子。当qi=r时，得：推论3：设m1,m2,…mn均为正整数,且满足,则m1,m2,…,mn中至少有一个数不小于r。123...1nmmmmrn推论2：m只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有只鸽子,其中是不小于的最小整数。mnmnmn3鸽巢的构造及其应用虽然鸽巢原理十分简单明了，但不是所有的问题都一眼就可以看出什么是鸽子，什么是鸽巢。在应用它的时候却涉及很多技巧，这是利用鸽巢原理解题的魅力所在。常用的构造鸽巢的方法有：利用整数分组、余数分类，划分集合，分割区间、分割图形，利用染色等。下面给出几类常用的构造鸽巢的方法。3.1利用整数分组构造“鸽巢”例1试证明从{1，2，…，kn}中选n+1个数，总存在2个数，它们之间最多相差k-1。证明：把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k},{k+1,k+2,…,2k},…,{(n-1)k+1,(n-1)k+2,…,kn},即做n个鸽巢，从中任选n+1个数，由鸽巢原理，必有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的差最大为k-1。路易·波萨是匈牙利数学家,在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出了个问题:“如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？”波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。例2在一条笔直的马路上种树，从起点起，每隔1米种一棵数。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。解从起点开始给每课树编号，树上的号码依次为1,2,3,…,n,把这些号码分为奇数和偶数两类，当作两个鸽巢，把三块牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，这三棵挂牌的树至少有两棵树的号码同为奇数或偶数，而这两棵树的差必为偶数，所以至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。3.2利用划分图形构造“鸽巢”例1边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过.18解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四个正方形为鸽巢，9个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论.GEDF图1把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.如图1，通过这三点中的任意一点（如E）作正方形边平行线11111()22222hh11.4848hhS△DEF＝S△DEG＋S△EFG所以，结论成立。1.如果8个点无一个在圆心上，可将圆分成7个相等的扇形，由鸽巢原理，这8个点至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。例2在圆内（包刮圆周）有8个点，则其中必有两个点，它们之间的距离小于圆的半径。证明分两种情况考虑。A1A2A3A4A6A5o2sin2bR（弦长）2.如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成6个相等的扇形，如图，取扇形OA1A2不包含OA2,扇形OA2A3不包含OA3,…,扇形OA6A1不包含OA1,由鸽巢原理，余下的7个点至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以1.在边长为1的正方形内任取5个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过2.22.证明:(1)在一边长为1的三角形中任取10个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过1/3.(2)确定mn，使得在一边长为1的三角形中任取mn个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过1/n.类似这样的问题还有不少。3.3利用余数分类构造“鸽巢”例试证明任意给定52个整数，它们之中必有2个数，其和或差是100的倍数(即被100整除）。证明：任意一个整数a除以100产生的余数为0，1，2，…99共100种。用a1,a2,…,a52表示这52个整数，ai除以100产生的余数记为ri（i=1，2，…，52）。由鸽巢原理，这52个整数分别除以100产生的52个余数r1,r2,…r52中必有两个余数落在同一组中，我们现在用0，1，2，…,99这100个余数来构造鸽巢，将它们分为51组，构造出51个鸽巢：{0}，{1，99}，{2，98}，…{49,51},{50},即存在两个数，它们的和或差能被100整除。若这两个余数落在{0}或{50}中，则它们的和及差都能被100整除。若这两个余数落在剩下的49组中的一组，当余数相同时，它们的差被100整除，当余数不同时，它们的和被100整除，类似这样的例子也有不少。这个问题的一般提法任意给定n+2个整数，它们之中必有2个数，其和或差是2n的倍数。1.任取n+1个正整数，求证在这n+1个数中必有两个数它们之差被n整除.2.任意给出2011个正整数证明必存在正整数122011,,,aaa122011/().kklaaa使得,2011),klkl（02.任意给出2011个正整数证明必存在正整数122011,,,aaa122011/().kklaaa使得,2011),klkl（0证明构造部分和序列112122011122011,,,,sasaasaaa则有如下两种可能：（i）存在整数h(1≤h≤2011),使得.此时,取k=0,l=h即满足题意.2011/hs（ii）对任一整数i，均有.令，2011|(12011)isi(mod2011)iisr12010(12011),iri则有这样,2011个余数均在1到2010之间,由鸽巢原理知,存在整数,使得.(1,2011)klklklrr不妨设lk，则12()(mod2011)0(mod2011).kkllklkaaassrr综合（i）和（ii），即知题设结论成立.3.4利用分割区间来构造“鸽巢“例一个孩子每天至少看一个小时电视，共看7周，每周看电视从不超过11小时，证明：在此期间存在连续若干天这个孩子恰好看电视20个小时。（设这个孩子每看电视时间为整数个小时）证明设这个孩子7周内每天看电视的时间分别为a1,a2,…,a49小时，现在构造出数列{an}的前n项和的数列s1=a1，s2=a1+a2，……，s49=a1+a2+…+a49，则有：1≤s1s2s3…s49≤11×7=77,而序列s1+20，s2+20，…,s49+20也是一个严格的递增序列，且有21≤s1+20s2+20…s49+20≤77+20=97，考虑数列12491249,,...,,20,20,...,20,SSSSSS它共有98项，且都在1至97中取值，根据鸽巢原理，必定存在两项相等。由于前49项和后49项又分别是严格递增的，因此必然存在一个i和j,使得si=sj+20(ij)，即si-sj=20，从而这个孩子从j+1天起到第i天的时间里恰好看电视20个小时。类似这样的例子还有不少。1.一个乒乓球手有37天时间准备一场比赛,他决定每天至少打1场球,37天至多打60场球,证明:在此期间存在连续若干天他恰好打了21场球。2.一个学生解数学题100天,每天至少解一道题,每10天至多解17道题,证明:在此期间存在连续若干天他恰好解了29道题.那么是否存在连续若干天他恰好解了30道题。3.在(0,1]区间上任取5个点，则必有两个点它们的距离小于1/4。4.n+1个实数xi满足0xi≤1（i=1,2,……,n+1），求证这n+1个实数中必存在两个数xi,xj，使得1||.ijxxn由于1≤ai≤200，所以ri(1≤i≤101)只能取1，3，5，…，199这100个奇数，而r1，r2，…，r101共有101项，由鸽巢原理知，存在1≤i≠j≤101，使得ri=rj，不妨设sisj，则222jjiisssjjsiiarar整数即aj能被ai整除.3.5利用化分集合来构造“鸽巢”例试证明在1到200个自然数中任取101个数，一定存在两个数，其中的一个数是另一个数的整数倍。证明:设a1，a2，…，a101是被选出的101个整数,对任一ai，都可以唯一地写成如下的形式：2(1,2,,101),isiiari其中，si为整数，ri为奇数.推论3的应用.例1把1至10这十数字随机的排成一个圆圈，证明必有一个三相邻数字之和大于等于17．证明把1至10这十个数字随机排成一个圆圈,从中任取三个相邻数字的方法有10种,设这10种三个相邻数字之和分别为m1,m2,…,m10,则有m1+m2+…+m10=3×(1+2+…+10)=3(1011).21210...31116.516,102mmm由推论3,必存在mi(0≤i≤10),使得mi≥17，即问题得证．例2设有大小两个圆盘，每个都划分成大小相等的200个小扇形，在大盘上任选100个小扇形漆成黑色，其余的100个小扇形漆成白色，而将小盘上的200个小扇形任意漆成黑色或白色.现将大小两只圆盘的中心重合，转动小盘使小盘上的每个扇形含在大盘上的小扇形之内.证明：有一个位置使小盘上至少有100个小扇形同大盘上相应的小扇形同色.证明：由条件，固定大盘转动小盘共有200个不同的位置，设mi表示在第i个位置时，大、小扇形同色的个数（i=1，2，…，200），只要证明122001()99200mmm即可.对小盘上的每一个扇形，由着色的条件，旋转一周（200个位置），与大扇形同色的个数为100个，所以200个小扇形在旋转一周同色的个数共有100×200=20000个.1220012200200001()99200mmmmmm结论成立4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用中学数学竞赛中，鸽巢原理常常作为一种处理问题的工具，多用于组合问题，在一些代数与几何问题中亦有应用。鸽巢原理及其简单形式多用于解答存在性问题，应用鸽巢原理解题时，关键是构造适合的鸽巢。下面给出一些利用鸽巢原理解决的数学竞赛题。例1(北京市数学竞赛复赛试题)将910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：1．至少三行完全相同；2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。证明：910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。每行中的7个位置中的每个位置都有红、蓝两种可能，因而总计共有27=128种不同的行式（当且仅当两行墨水瓶颜色及次序完全相同时称为“行式”相同）。依鸽巢原理可知，在130行中