复变函数的可导与解析

复变函数的导数与函数解析一.复数域与复数的表示法1i,Im,Re,iCzyzxRyxyxz复数集：CC),()1()0(C1复数域数域构成一个于是复数集及逆元单位元，数集中有零元交换律，分配律，且复法与乘法的中的四则运算满足：加复数集z复平面复数域有序数组复数),(yxiyxz复数的表示法：三角表示法）或向量复平面上的点()sini(cos.3),(.2i.1rzOPyxPyxz（指数表示法）irez.4,1,0,2arg.arg],(.22kkzArgzzzArgzzyxzr为内的幅角为主幅角，记范围个幅角，称在任一非零复数有无穷多的幅角的模其中：在第四象限在第三象限在第二象限在第一象限zxyzxyzxyzxyzarctanarctanarctanarctanarg21212121)(ArgzArgzzzArgArgzArgzzzArg212121212121zzzzzzzzzzzz）（，，性质：212121212,,zzzzzzzzzzz复数的乘幂：)sini(cos)(),sini(cosnnrreznzrreznnini为次幂的则设复数的方根：)1,2,1,0()2sini2(cos),sini(cos1nknknkrznzrreznni为次方根的则设二.复变函数复变函数：一个复变函数二个二元实函数),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf平面上的点集平面上的点集例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222定义域.函数值集合定义集合复变函数称其为常常为一个平面区域今后的讨论中称为的称为或简记为记为上的是定义在则称与之对应中有一个或多个复数在通过点中每一个如果对一个确定的对应规则是和复数集设有复平面上的点集,,,,:,,,,,,GGzzfwwGzfGzfwzfwzfGfwGfzGfGG定义1可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变函数的极限，连续。),(),(lim)(lim),(),(000yxivyxuzfyxyxzz极限例如：),(),(lim),,(),(lim)()(lim,(),(),()(00),(),(00),(),(000000000yxvyxvyxuyxuzfzfyxyxvyxuzzfyxyxyxyxzz（）（）连续在，连续在因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续的性质。因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大(小)值应理解为连续的复变函数模的最大(小)值定理.zzzxyxyarglim,arglimarg0000为在负实轴上不连续，因三.复变函数的导数000000000000limdd,,,limlim,zzzfzfzwzfzzfzzfzwzzzfzfzzfwzzzzzzz记作的在其极限值称为可导在则称存在果极限如的某邻域内有定义在设函数导数定义2.,内可导D在zfDzf称则内每一点都可导在区域如果例1.求f(z)=zn,(n为正整数)的导数.解zzzzzzfzzfzfnnzz00limlim112210limnnnnnznzzzzCnz1nnnzz的连续性与可导性。讨论zzf)(在复平面处处连续解iyxzzf)(yixyixzzzzzzzzfzzfyxzzz)0,0(),(000limlimlimlim1limlim000yiyiyixyixyyx而1limlim000xxyixyixxxy例2。在复平面上处处不可导不存在，因而zzfyixyixzzfzzfyxz)0,0(),(0limlim可导必连续,连续不一定可导复合函数求导法则:;,0)1(为复常数其中CC;)2(1nnnzz;)4(zgzfzgzfzgzf;)3(zgzfzgzf;0,)5(2zgzgzgzfzfzgzgzf;,)6(zgwzgwfzgf其中.0,,1)7(wwzf且数的单值函数其中与为两个互为反函极限。对应于二元实函数的函数导数定义中的极限函数的极限，而复变定义中的极限是一元实因为一元实函数导数本质上有很大的不同。然形式上一样，但在实函数的导数定义，虽数的导数定义与一元需要注意的是，复变函.,.,,;,,0000奇点解析函数在D内解析解析点解析z在0的为那末称不解析在如果内的一个是或称则称内处处解析在若的是或称则称导及其某个邻域内处处可在如果函数zfzzzfDzfzfDzfzfzzfzzf定义3内可导在区域内解析在区域DzfDzf)()(两个解析函数的和、差、积、商(除去分母为零的点)都是解析函数,解析函数的复合函数、反函数(单值)仍是解析函数..limlim)(00000存在可导，即极限在设zzfzzfzwzzfzzzzfzzfxzyzxz000lim0,0时，有沿实轴趋于零，即当xvixuxyxivyxuyxxivyxxux000000000,,,,lim0,0时，有沿虚轴趋于零，即当yizxzyuiyvyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfyyiz00000000000000,,,,limlimyuiyvxvixuyuxvyvxu柯西－黎曼(Cauchy-Riemann)方程处处不可导。，中如例yuxvyvxuyvxvyuxuyyxvxyxuiyxzzf,1,0,0,1),(,),(,)(2以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足C-R方程，反过来？例30),(,),(,ImRe)(yxvxyyxuxyzzzf证：条件，但不可导。满足在证明：0ImRe)(RCzzzzf)0,0(0)0,0(),0(lim)0,0()0,0(0)0,0()0,(lim)0,0(00xyyyxxvyuyuuvxuxuu.条件满足RCkikxkixkzfzfxxkyzxxkiz1)1()(lim0lim)0(200)1(趋于零时，有沿但当不存在zfzfz0lim0不可导。在0)(zzfxyyxvuvuRCyxzDyxvyxuDyxvyxuzf,:,i,,:,i,00方程而且满足可微内任一点在和充要条件是上解析的在函数定理1yuyvxvxuzfii且)())(())((,,)(12212100210yxyaxbiyxybxayixiyixibaviuzfzzfyixziibazf则，设)0lim()(lim)()((000000000zzzzzfzfzzfzzfzzfzfzzf其中可导，即有在必要性）设证0)()(lim,0)()(lim2212002221001221yxyxyxyxyxyaxbvyxybxauyxyx而前已证得。条件处满足在且处可微在点所以,),(),(),,(),(),(),,(0000RCyxyxvyxuyxyxvyxu处可微在点充分性）),(),(),,((00yxyxvyxuyixviuzwyxoyvxvvyxoyuxuuyxyx))()(())()((2222yixyxoyvxviyxoyuxuyxyx)])()(([))()((2222yixyxoyixivuyixyxoyuxviyvxuxxxxxxRC))()(())(())()(()2222（条件xxzivuzw0lim.)(0可导在zzf一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。)sin(cos)(1yiyezfx）（解析？可导？何处判断下列函数何处)()sin(cos)()(zfyiyeivuzfzfxxx解析，且处处在复平面上处处可导，例4解条件，且满足在复平面上处处连续，，而RCyevyevyeuyeuyeyxvyeyxuxyxxxyxxxxcos,sin,sin,cossin),(,cos),(ixyyxzf)(2）（条件时满足但仅在在复平面上处处连续，，而RCyxvvuuxvyvuuxyyxvyxyxuyxyxyxyx1,1,,,,,1,1),(,),(解.1)(不解析处处处可导，在复平面上在izzfiyxzf2)(3）（条件上满足但仅在直线在复平面上处处连续，，而RCxvvuuvvuxuyyxvxyxuyxyxyxyx21,,,1,0,0,2),(,),(2解.21)(不解析处处可导，在复平面上上在直线xzf。求的虚部已知解析函数)(,)(22zfyxyvzf)()(2)(222222222xgyxxdyyxxyuyxxyvuxyzCyxiyxCivuzfCxgxgyxyxvxgyxyxuyx1)()(,0)()()()(222222222222解例5三初等函数1.指数函数)sin(cosyiyeewxzzzzikzzzzzzzzzzxzeeeeeeeeeekyArgeee)()4()3(,)2(2,1221212121处处解析，且有周期性：）（性质：复变函数中无中值定理公式实指数函数）注：0)(,0)2()(sincos0)(01(zzxziyxeeeeEuleryiyewxewy2.对数函数)2i(arglniArglnLnkzzzzzw)Arg,lnln2,,,.(zvzrukverreerezivuwezuiivuiw则，设反函数的对数函数为指数函数),2,1(2lnLnLnarglnlnlnLnarg.)Ln(Ln1kikzzzzizzzzzArgzzkzk的主值支，即的主值，记为时，相应的对数称为取主值当，记为可确定的一个单值分支，于每个固定的为无穷多值函数。对应）注：（ikikiixx)12(2)1ln()1(Ln)1arg(