复变函数积分

DepartmentofMathematics第三章复变函数的积分DepartmentofMathematics第一节复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的的定义2、积分的计算问题3、基本性质一、复变函数积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.xyoAB如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,.C记为简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C(周线)的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.2.定义3.1(),(),(),azbzfzCCab以为起点为终点沿有定义顺着从到的方向取设分点oxyab1nzkz1kz2z1zkC121(1,2,,),kkkzzkn在每个弧段上任意取一点设有向曲线C(),()zztt011,,,,,,,kknazzzzzb把曲线C分成若干弧段,作和式1(),nnkkkSfz1(),nnkkkSfzoxyab1nzkz1kz2z1zkC121,,,,()(),()(),():kkknCzzzSJfzCabJfzCabfzdz其中当分点无限增多而这些弧段长度的最大值趋于零时如果和数的极限存在且等于则称沿从到可积而称为沿从到的积分并记号表示()d.CJfzz.C称为积分路径()d,CfzzC表示沿正方向积分()dCfzzC表示沿负方向积分.关于定义的说明:(1),(),,,.baJJfzdzJabC如果存在一般不能把写成因为的值不仅和有关而且和积分路径有关(2)(),().fzCfzC沿可积的必要条件是沿有界1(3)()dlim().nkkCnkfzzfz3.定理3.1()(,)(,),(),fzuxyivxyCfzC若函数沿曲线连续则沿可积且证明),()()(ttyitxtzzC由参数方程给出设光滑曲线正方向为参数增加的方向,,BA及终点对应于起点及参数()dCCCfzzudxvdyivdxudy,,0)(ttz并且,),(),()(内处处连续在如果Dyxviyxuzf,),(),(内均为连续函数在和那么Dyxvyxu,kkki设)(111kkkkkkkiyxiyxzzz因为)()(11kkkkyyixx,kkyix1()nnkkkSfznkkkkkkkyixviu1))](,(),([1[(,)(,)]nkkkkkkkuxvy,,都是连续函数由于vu根据线积分的存在定理,所以1[(,)(,)]nkkkkkkkivxuy当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,,,),(,下式两端极限存在的取法如何点的分法任何不论对kkCnkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111]),(),([]),(),([)(Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi:ddd)(相乘后求积分得到与yixzivuzfCzzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi在形式上可以看成是公式即复函数积分可表为两个实积分.二.复变函数积分的计算问题(),fzC沿连续则设有向曲线C()()(),()zztxtiytt()[()]()d(3.2)Cfzdzfztztt()Re{[()]()}dIm{[()]()}d(3.3)Cfzdzfztzttifztztt复积分的变量代换公式或证明()dCfzzddddCCuxvyivxuy{[(),()]()[(),()]()}duxtytxtvxtytytt{[(),()]()[(),()]()}divxtytxtuxtytyttttyitxtytxivtytxud)}()()]}{(),([)](),([{.d)()]([ttztzf注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.例1解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20innerizxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,dπ20inneriCnzzzd)(110三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf12(4),,,,nCCCC如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线则12()()d()d()d.nCCCCfzdzfzzfzzfzz,()(),()d()d.CCCLfzCfzMfzzfzsML设曲线的长度为函数在上连续且满足那末估值不等式22(5)()d()d()d,()()CCCfzzfzzfzsdzdxdyds弧长微分(6)积分估值定理3.2证明,1两点之间的距离与是因为kkkzzz,度为这两点之间弧段的长ksknkkzf1)(所以nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得.d)(d)(CCszfzzfnkkksf1)(因为nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC所以[证毕]证明2,(01)Cztit的参数方程为而C之长为2,根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例221d2,2CzzCii试证积分路径为连接到点的直线段.21,Cz因为在上连续且1212ti2141tdCs22xyo2i2i例3,.izCedzCzRRR试证积分路径为圆周的上半圆周从到证明:Re,(0)iCzizCedzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(0)2由2202ReRd(1)ReizCedz220|Rexy0R.R.例4解.11(3);1(2);1(1):,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算ixixyiCzzC(1)积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Retiztz于是CzzdRe10d)1(tit);1(21ixyoi11i(2)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221ixyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21i积分路径不同,积分结果也可能不同.例5解,12zdzzz计算积分其中为圆环及实轴积分路径的参数方程为:21,Izttzdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0π),iCze1:(0π),iCze:12,IIzttIzdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzzπ0diiieiee21dtπ022d2iiieiee.所围区域位于上半平面部分的边界112dtπ0diiieiee21dtπ022d2iiieieeπ30diie1π302diie2π30diie20{cos3id0sin3}id2234.3四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.作业P141习题(一)P1421,2,3(1),本节结束谢谢！