复变函数积分变换02(吉大)

12第四节傅里叶变换的性质设本节中,各函数的傅氏变换均存在.基本性质线性性质设F1()=F[f1(t)],F2()=F[f2(t)],,为常数,则F[f1(t)+f2(t)]=F1()+F2()F1[F1()+F2()]=f1(t)+f2(t)3平移性质若F()=F[f(t)],t0,0为实常数,则)(e0iFtF[f(tt0)]F1[F(0)])(e0itft线性性质可直接由积分的线性性质推出.证明tttftde)(i0F[f(tt0)]4uuftuttude)()(i00)(ede)(e00iiiFuuftuttttftde)(i0F[f(tt0)]),0()i(1)(00为实数G例求G()的傅氏逆变换g(t).解由平移性质F1[F(0)])(e0itft5F1[F(0)]F1[F()]tie0g(t)=F1[G()]=F1])(i1[0t0ieF1]i1[i1)(,0,e0,0)(Ftttft时又P120例2.1.0,0,0,210,,e)()i(0ttttgt所以6伸缩性质(相似性质)若F[f(t)]=F(),a为非零实常数,则)(||1)]([aFaatfF证明tatftde)(iF[f(at)]令u=at,则有当a0时F)(1de)(1)]([iaFauufaatfua7F[f(t)]=iF[f(t)]当a0时F)(1de)(1)]([iaFauufaatfua).(||1)]([aFaatf综上F微分性质则若,0)(lim||tft则若,)1,,1,0(0)(lim)(||nktfkt8F[f(n)(t)]=(i)nF[f(t)]根据傅氏变换公式,并利用分部积分得证明得由0)(lim||tft0|)(|lim|e)(|lim||||tftfttitttftftde)()]([iFttftfttde)(ie)(ii9ttftfttde)(ie)(ii0|e)(|limi||tttfttftde)(ii=iF[f(t)]反复利用分部积分可证F[f(n)(t)]=(i)nF[f(t)]傅氏逆变换的微分性质F()=F[itf(t)]10F(n)()=(i)nF[tnf(t)]积分性质则若设,0)(lim,d)()(tgftgtti1)]([tgFF[f(t)].11)(]d)([dd)(tffttgt由于证明F[f(t)]=F[g(t)]=iF[g(t)]F[g(t)]=F[f(t)]i1F[f(t)]=iF[f(t)]i1]d)([tf即FF[f(t)]12例求解微积分方程)(d)()()(thttxctbxtxat其中t+为常数,为a,b,c为常数,h(t)为已知函数,且傅氏变换存在.解记F[x(t)]=X(),F[h(t)]=H(),对方程两边取傅氏变换,得)()(i)()(iHXcbXXa13)(i)()(cabHX解得求上式的傅氏逆变换,得de)(i)(π21)(itcabHtx这就是所求的微分方程的积分形式的解.14卷积与卷积定理卷积定义设函数f1(t),f2(t)在(,+)内绝对可积,则积分d)()(21tff称为f1(t)与f2(t)的卷积(也叫褶积),记为d)()()()(2121tfftftf卷积的性质15根据定义,可以验证卷积满足如下性质:交换律成立:f1(t)f2(t)=f2(t)f1(t)结合律成立:f1(t)[f2(t)f3(t)]=[f1(t)f2(t)]f3(t)分配律成立:f1(t)[f2(t)+f3(t)]=f1(t)f2(t)+f1(t)f3(t)16求f1(t)与f2(t)的卷积.例.0,e0,0)(,0,10,0)(21tttftttft若解由卷积的定义,有d)()()()(2121tfftftf若f1()f2(t)0,只要求下式成立:ttt00,00即17当t0时，f1()f2(t)=0,有f1(t)f2(t)=0当t0时,f1()f2(t)0,因此ttfftftf02121d)()()()(tttee1d10)(卷积定理若F[f1(t)]=F1(),F[f2(t)]=F2(),则有F[f1(t)f2(t)]=F1()F2()18或F1[F1()F2()]=f1(t)f2(t)证明tdtfftde])()([i21ttfftdde)(e)()(i2i1d]de)([e)()(i2i1ttfft=F1()F2()ttftftftftde)]()([)]()([i2121F19这个定理说明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积.同理可得即两个函数乘积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的卷积除以2.例求下列函数的卷积(0,0)tttftttfπsin)(,πsin)(21)()(π21)]()([2121FFtftfF20解查附录1傅氏变换简表第3式,得到设F[f1(t)]=F1(),F[f2(t)]=F2().||,0||,1)(1F其他,0||,1)(]πsin[00FttF||,0||,1)(2F21由卷积定理有ttπsinF1[F1()F2()]=f1(t)f2(t)=.||,0,||,1)()(21FF(其中=min|,|)因此22