复变函数第2章解析函数

2020/1/231第2章解析函数本章基本要求：1.理解复变函数的导数与复变函数解析的概念2.掌握复变函数解析的充要条件3.了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及主要性质2020/1/232一、复变函数的导数与解析的概念1.导数与微分的定义若极限点内的一点是区域定义于区域设函数,,,)(00DzzDzDzfwzzfzzfz)()(lim000此极限值。点可导或可微在则称函数存在0)(,zzf:,)(0记作点的导数在称为zzf0)(0zzdzdwzf或2020/1/233即zzfzzfzfz)()(lim)(0000的方式无关。定义中极限值的存在与的方式是任意的定义中注0,)(0,:00zzzzz简称导数。的导函数称为可导内在则称内处处可导在如果,)()(,)(,)(zfzfDzfDzfw。处的微分在为函数此时，称00)()(zzfzzfdzzfdw)(0记为可导可微2020/1/234。证明为复常数设例0)(),()(.zfccbiazf::由定义得到证明zzfzzfzfz)()(lim)(00lim0zccz2020/1/2352、可导与连续于是存在即可导在点设,lim,)(00zwzzfwzzwzwzz00limlim0)(00zf0)]()([lim000zfzzfz即)()(lim000zfzzfz亦即处连续。在因此0)(,zzf可导。不一定在处连续函数在点反之点必连续则在可导函数在点所以0000,,;,,zzzzzwzzz00limlim2020/1/2363、求导法则（与实函数求导法则相同）)(01为复常数）（cc)()(21为正整数）（nnzznn)()(])()([3zgzfzgzf）（)()()()(])()([4zgzfzgzfzgzf）（)0)(()()()()()()()(52zgzgzgzfzgzfzgzf）（2020/1/237))(()()()]([6zgwzgwfzgf）（。且互为反函数的单值函数是两个与其中）（0)()()(,,)(1)(7wwzzfwwzf2020/1/2384、解析函数概念解析。在称处处可导的某领域内及在点若函数定义000)(,)(.zzfzzzfw内解析。在上的解析函数或称为则称内每一点解析在区域若DzfDzfDzf)()(,)(奇点。的一个为则称不解析在点若)(,)(00zfzzzf2020/1/239注：（1)函数在一点处解析与在一点可导不等价。解析要满足两个条件：在该点可导；在该点的邻域内可导即解析比可导条件强。(2)函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的。2020/1/2310的解析性。讨论函数例zzf1)(.21)(zzf由于。外处处可导除了所以0)(,zzf点外处处解析。在复平面上除了函数因此01,zz2020/1/2311:,论由求导法则可得以下结对于解析函数内解析。仍在、、则内解析在、若）（DzgzgzfzgzfzgzfDzgzf)0)(()(/)()()()()(,)()(1;)]([,)(,,)(,)(2内解析在则复合函数若对内解析平面上区域在函数内解析平面上区域在若）（DzgfwGzghDzGhhfwDzzgh2020/1/2312且内解析在则内连续在相应的区域的反函数而且内解析在设）（,)(,)()(,0)(,,)(3GwhzGwhzzfwzfDzDzfw)(1)(zfwh上解析。在复平面多项式nnnnazazazazP1110)(由以上结论可知：的区域内为解析函数。在有理分式函数0)()()(zQzQzP2020/1/2313二、函数解析的充分必要条件)(函数解析的充要条件定理:),(),()(条件是内解析的充要在其定义域函数Dyxivyxuzf:,),(),(满足方程而且可微内任一点在、iyxzDyxvyxuxvyuyvxu,)(—方程黎曼方程称上述方程为柯西RC2020/1/2314条件。方程是解析的必要满足内一定不解析。在那么方程内不满足在如果方程是定理的主要条件是否满足RCDzfRCDzfRC)(,)(,)1(:注内解析。在则内可微在、从而连续偏导数具有一阶、方程内满足在若DzfDvvvuRCDzf)(),(,)()2(2020/1/2315:),(),()(可导的充要条件是内某一点在推论iyxzDyxivyxuzf,,),(),(方程且满足在该点可微、RCyxvyxu并且有xvixuzf)(yvyui12020/1/2316:判断以下函数是否解析例zzzfiyxzfyiyezfxRe)()3()()2()sin(cos)()1(22yeyxvyeyxuxxsin),(,cos),()1(:解yeyuyexuxxsin,cosyeyvyexvxxcos,sin2020/1/2317条件且满足处处可微、则数处处连续在复平面内这四个偏导RCyxvyxu,),(),(,在复平面上处处解析。由定理知于是)(,zf22),(,),(yyxvxyxuyyvxvyuxxu2,0,0,2xvyu在复平面连续且yvxuxy时才有但仅当22)()2(iyxzf2020/1/2318不解析。从而在复平面上处处上可导仅在所以,)(xyzfixyxxiyxzzzf2)(Re)(xyyxvxyxu),(,),(2xyvyxvyuxxu,,0,2在复平面处处不解析。故可导点仅在所以条件才满足时但仅当内连续这四个偏导数在复平面)(,0Re)(,,0,zfzzzzfRCyxzzzfRe)()3(2020/1/2319)()(2222ydxycxibyaxyxzf设例在复平面处处解析。取何值时、、、问)(,zfdcbabyaxuayxuyx2,2:解ydxvdycxvyx2,2必须有在复平面处处解析要使,)(zfyxyxuvvu,即ydxayx22byaxdycx222020/1/23202112dcba解得复平面上处处解析。在时所以，当)(,2,1,1,2zfdcba:)(,:,)(内必为常数在则之一若满足下列条件证明内解析在设例DzfDzf常数)(Re)2(0)()1(zfzf2020/1/2321即，若证0)()1(:zf01)(yvyuixvixuzf0yvyuxvxu于是为常数。即为常数、所以ivuzfvu)(,所以常数即常数）（,,)(Re2uzf0yuxu:条件得由RC0yvxv为常数。从而为常数、即)(,zfvu2020/1/2322。值在右半平面解析的求使函数例axyiyxazfarctan)ln()(22xyvyxauarctan)ln(:22解222yxaxxu22yxyxv。条件且满足偏导数连续只要时当RCax,,21,0222yxayyu22yxxyv2020/1/2323三、初等解析函数1、指数函数定义我们定义关系式对,iyxz)sin(cosyyeeexiyxz。为复数域上的指数函数特别地：;,,0与实指数函数定义一致取实数时即当zyyiyeiyziysincos:Euler,公式得到时当2020/1/2324:显然有)(2)(,||为整数kkyeArgeezxz表示。还可以用zezexp).arg(||22zzee，求例xyiyxiyxzeee2)(2222:解222||yxzeexyez2)arg(22020/1/23252、对数函数zwzfwzzewLn,),()0(记作称为对数函数的函数满足方程定义则若令,,ivuwreziiivuree:于是有),1,0(2,kkvreu)0(Arg,lnzzvru:,得到由此)0(Arg||lnzzizw为多值函数2020/1/2326记为的主值称为为一单值函数时取主值当,Ln,Ln,argArgzzzzzizzarg||lnln因而,...)2,1(2lnLnkkizz的一个分支。称为函数上式表示一个单值对每个表示其它各分支zkLn,,,2020/1/2327:的主值计算下列函数值及它们例)Ln()3()33()2()1Ln()1(ieiLn)1Arg(|1|ln)1Ln()1(:i解)2(1lnki)()12(为整数kkik)1ln(,0得主值时当)33(|33|ln)33Ln()2(iiArgii)()62(32ln为整数kki2020/1/2328ik632ln,0得主值时当)(Arg||ln)Ln()3(iiieieeik)12(01)(argie)()21(为整数kkiieki的主值为得时当Ln,02020/1/2329:,性质可以得到复对数的运算由辐角的性质2121LnLn)Ln()1(zzzz2121LnLn)Ln(2zzzz）（2020/1/2330:,Ln,,2lnLn且具有相同的导数值的平面内也解析实轴各分支在除去原点及负所以倍只相差一个的每一个单值分支与由于zizzzz1)(Ln复平面内解析。在除去原点及负实轴的zln解析性：2020/1/23313、幂函数为幂函数。为任意复常数称)0,(Lnzaezwzaa)(,Ln为整数外除一般也是多值函数所以是多值函数由于azza,)1(为整数时当aikazaikzazaaeeeez2ln)2(lnLn,)(时如为正整数naazzzeeezzzznnLnLnLn2020/1/2332),1),(()2(为正整数、为有理数时当nmnmnmanmnmazzz有无穷多值。为无理数或复数时当aza,)3(:解析性平面解析。在为正整数时zznzznannn,)(,1点的复平面内解析。除去原在时为正整数1)(,)(nnnzznna2020/1/2333且内也是解析的原点和负实轴的复平面各分支在除去因而内解析原点和负实轴的复平面的各分支在除去由于时为整数、当,,Ln,)(nmzznmnma1)(nmnmznmz2020/1/2334的值。求例iii12,:解2Ln)1(12iie]22)[ln1(ikie)22(ln)22(lnkike)]2sin(ln)2[cos(ln22iek),...1,0(k)2(1ln2kiLniiiieiLn)(22)22(2为整数keekki2020/1/23354、三角函数,,Euler为实数时公式由yyyeyiyeiyiysincossincos，从而有2cos,2siniyiyiyiyeeyieey:,函数我们定义复变量的三角由此ieeziziz2sin:正弦函数2cos:izizeez余弦函数2020/1/2336:性质即是奇函数是偶函数,sin,cos)1(zzzzzzsin)sin(,cos)cos(;2cossin)2(为周期以、zz在复平面内解析且、zzcossin)3(zzzzs