复变函数第7讲

()(,)(,),fzuxyivxy记则cc(,)(,)0,(,)(,)0.uxydxvxydyuxydyvxydx回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：()0cccfzdzudxvdyiudyvdxcPdxQdy与路径无关,xyxyvuuv这不就是柯西-黎曼方程吗？根据上述，我们可以得到如下的结论：iii,.CDQPPQDxy）曲线在单连通域内；）在内一阶偏导数连续，且有应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为(,)(,)-()(,)(,)uxyvxyBfzuxyivxyBC如果函数和在单连通域内具有一阶连续偏导数且满足柯西黎曼方程，那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零。2.该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计算一些复积分而发现的（1825年），而古萨对其进行了改进并给出了严格证明(1900年）.-()fzBBC柯西古萨基本定理：如果函数在单连通区域内解析，则对于内任意一条封闭曲线，皆有()0.cfzdz实际上，我们有下列更一般的结论注1.定理中的曲线可以不是简单曲线。2.柯西-古萨基本定理及其推论定理的推论CC()()0.cBfzBBBCfzdz设是一条封闭曲线，是的内部，如果在内解析,在上连续，那么仍有注：利用这一结论，我们在计算某些积分只须检查C内及C上是否有奇点即可，若没有的话，积分一定为031112111101coszczrzzedzdzzdzdzzz例如：研究的问题：将单连通区域上的柯西基本定理推广到多连通区域中。§3基本定理的推广—复合闭路定理()()0?cDfzDCDfzdz设是一个多连通域，在内解析，为内的任意一条简单闭曲线。考虑积分1.1()0.cCDfzdz情形如果的内部完全含于，如右图，则显然有2.2?CD情形如果的内部不完全含于，如右图，则情况如何DccD图1图2对于情形2，我们有如下的结论：11111(),()()ccCCDCCCCDDfzdzfzdz如右图所示，假设及为多连通域内的两条简单闭曲线正向为逆时针在的内部，而且以及为边界的区域全含于。则有如下等式成立：c1cDAA’B’BEE’FF’证明:连接C上点A到C1上点A’以及C1上点B’到C上点B，则有：''''''()0,()0.AAFBBFAAEBBEAAfzdzfzdz将上面两等式相加，并先展开后再重新组合，可以得到1''''()()()()()()0ccAAAABBBBfzdzfzdzfzdzfzdzfzdzfzdz1()()0ccfzdzfzdz即或1()()ccfzdzfzdz这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过函数f(z)的不解析的点。——闭路变形原理如果把如上两条简单闭曲线C及C1-看成是一条复合闭路г，且规定它的正向为：外面的闭曲线C按逆时针进行，里面的闭曲线C1按顺时针进行，那么有()0fzdz同样的方法，我们还可以证明更一般的结论：12n12nCDCC,CCCCCCD，，复合闭路定理：设为多连通域内的一条简单闭曲线，是在内部的简单闭曲线，他们互不包含也互不相交，并且以，，，，为边界的区域全含于（如右图所示）。CC1C2C3knkcck1kkf(z)D1fzdzfzdz,CC2fzdz0,CCCC=如果在内解析，那么）()=()其中及均取正向；）()=这里为由及所组成的复合闭路（其正向是取逆时针方向，取顺时针方向）。该定理的证明方法同前面一样，无非是多加几条辅助线，最后辅助线上的积分仍然抵消。由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：12(),,,()nfzcnzzzfzcc若函数在闭曲线内有个奇点则沿的积分等于内围绕每一奇点的小闭曲线上的积分值之和，即12()()()()nccccfzdzfzdzfzdzfzdz1212,,,,,,nnccczzz其中为分别围绕的小闭曲线。0011cIdzczzz例：计算，其中为任意一条不过的正向闭曲线。解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数在c内的解析情况，为此，需分两种情况讨论：01)0zccI位于外，则被积函数在内处处解析，因而由柯西基本定理0002)zcczczr位于内，则函数在内有唯一奇点，在内以为圆心任做一半径为的小圆周，则有000112.czzrIdzdzzzzzi前面例题记住这一结论：。z0cizzdzczc200内，则在只要122(1)(2)1z=2cdzIczzz例计算积分，其中为不经过和两点的闭曲线.解：根据被积函数的奇点与积分曲线c的位置关系，此题须分四种情况讨论：121)z1,z2cc皆在外，因而函数在内处处解析,0I由柯西基本定理，122)z1z202221ccccdzdzIiizz分解在内，在外，则123)z1z2cc在外，在内，则20221ccdzdzIiizz124)z1,z222021cccdzdzIiizz皆在内，则。1。2此时还可以这样求解：121122(1)(2)(1)(2)(1)(2)21210-2i+2i+0=0.cccccccdzIzzdzdzzzzzdzdzdzdzzzzz=c1c2§4原函数与不定积分假设函数f(z)在单连通区域B内解析，则对B内以z0为起点，z为终点的任意曲线上的积分都相等，即积分只与起点、终点有关，因而可记为上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上不仅如此，而且性质也一样：00()()()zzzzFzfzdzfd0zczfzdzfzdz()=()当终点z变化时，上式可视为变量z的函数，因而可得到()()()()fzBFzBFzfz定理：如果函数在单连域内解析，那么必为内的解析函数，并且()()Fzfz证明：只须证明处处可导，且导数为即可，为此考察下式：00zz+z()()()1()()f(z)11()(z)1[()f(z)]zzzzzzzzzzzFzzFzfzzfdfdzfdfdzzfdzz0zz+△z(z)B00z|z|()()|fffz因在内解析，因而连续，于是对于任意给定的，存在,使得当|-||时，总有。0()()limF(z)=().zFzzFzfzz这就是说()()1()[()f(z)]||1|()f(z)|||1|z|||zzzzzzFzzFzfzfdzzfdzz根据积分估值性质B()(),()()BGzfzGzfz定义：若在区域内则称是在区域内的一个原函数。注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数2()()fzFz）在上述条件下，的原函数一定存在，变上限积分函数便是其中一个。类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论：()B()()fzGzfz定理：若在单连通区域内解析，为的一个原函数，则212112()()()B,BzzfzdzGzGzzz，这里。0zzfzdzfz证明：因为()也是()的原函数，所以011100010()().,-().()()()()()()zzzzzzfzdzGzczzcGzfzdzGzGzfzdzGzGz令得因此，或。注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变函数的积分就可以用定积分的类似方法来计算了，需要指出的是要注意验证是否满足定理中的条件。bzbaaedzee例如：]cos[coscossinabzzdzbabaiiiizdzzzzzdzdzz0000sinsinsincos211ln(1)1ln(1)12iizdzzz110coscossin12eeiiii221[ln(1)ln2]()2i对数计算公式略