复变函数论第3章第2节

1.柯西积分定理观察上节例4，在复平面上处处被积函数)(zzf)43:,d(的直线段从原点到点计算iCzzC同，或说沿z平面上任何闭曲线的它沿连接起点和终点的任何路径C的积分值都相此时积分与路线无关，观察上节例2,,110zzn时为被积函数当,0的内部不是处处解析的为中心的圆周它在以Cz,0,2)(||00izzdzRzzn的整数11nn,解析积分为零.,02d1|00Rzzizzz此时,0析的圆的内部函数处处解虽然在除去z但此区域已不是单连通域(从而积分值不为零).观察上节例5,,Re)(xzzf被积函数满足柯西－黎曼方程,.dRe与路线有关此时积分值zzcCzdzRe计算.),(积分与路径有关因而,0,2)(||00izzdzRzzn的整数11nn由于不因而在复平面内处处不解析,复积分与路径无关的条件可归结为研究沿任一简单闭曲线积分为零的条件.1825年法国数学家柯西解决了这一问题,人们称之为柯西积分定理，它是研究复变解析理论的基石.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.DCdzzfCDzfDzf.0)(:)(,)(的积分为零内的任何一条周线沿函数那么内处处解析在单连通域如果函数C定理3.3(柯西积分定理)1851年，黎曼在给定理附加“在D内连续”的条件下，得到如下的简单证明:)(zf,iyxz令黎曼证明：),,(),()(yxivyxuzf在公式CCCudyvdxivdyudxdzzf)(内连续，在由于Dzf)(在从而yxyxvvuu,,,,内连续D条件：且满足RC.,xyyxvuvu中分别应用格林公式，CvdyudxCudyvdx.0)(Cdzzf故得得：,0,0dxdyyuxvD)(dxdyyvxuD)(发表了柯西积分定理年古萨)(1900Goursat新的证明方法，为连续的条件，证明中免去了)(zf得到普及使柯西积分定理的应用柯西积分定理也称柯西—古萨基本定理.4.3定理内平面上的单连通区域在设函数Dzzf)(，解析则不必是简单的内任一闭曲线为,)(DC.0)(Cdzzf(定理的古萨证明略).证：而成，内的有限多条周线连接是区域设DCCC,)3(以及柯西积分定理由复积分的基本性质.可得定理结论5.3推论内平面上的单连通区域在设函数Dzzf)(，解析，内积分与路径无关在则Dzf)(内即对D,10zz与任意两点10)(zzdzzf，之值.10的曲线与终点内连接起点不依赖于zzD证：的任意两条与终点内连接起点是与设1021zzDCC曲线，内一条衔接成的负向的正向与则DCCC221积分.C闭曲线),3(4.3及复积分的基本性质由定理DD0z1z0z1z1C2C1C2C有Cdzzf)(021)()(CCdzzfdzzf从而.)()(21CCdzzfdzzf说明：柯西积分定理及其推论D在单连通域,)(zf内解析的函数的积分内沿任一曲线在LD.)()(10与路径无关有关终点只与其起点zzdzzfL,,,110zzDzz并令内变动在让如果固定,内的一个单值函数便可确定D2.不定积分:称作变上限积分zzfzF0d)()()4.3(,)(内处处解析在单连通域如果函数Dzf定理3.6证利用导数的定义来证.D,内任一点为设Dzz,KDz小圆内的为中心作一含于以Kzzz充分小使取的函数由变上限的积分所确定d)()(0zzζζfzF,内的一个解析函数必为D.)()(zfzF并且那末，DzK,内在Kzz)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)(由于积分与路线无关,的积分路线d)(0zΔzzζζf,zzz沿直线到然后从0z这一段注意:(,)(的定义由zFzzfzF0d)()(,0zz到可先取,)d)(0的路线相同与zzζζf)()(zFzzF于是,d)(zzzfzzzzfd)(因为zzzzfd)(,)(zzfDzKzz0z)()()(zfzzFzzF所以)(d)(1zffzzzzd)]()([1zffzzzzDzKzz0z,)(内解析在因为Dzf,)(内连续在所以Dzf,0,0故ζδzζ的一切使得满足,时即z,)()(εzfζf由积分的估值性质,)()()(zfzzFzzF,内都在K总有)()()(zfzzFzzFd)]()([1zffzzzzds|)()(|1zffzzzz.1zz,0)()()(lim0zfzzFzzFz于是).()(zfzF并且此定理与数学分析中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕],)(解析故zf，由上述定理的证明过程可得到更一般的定理7.3定理设；内连续在单连通域函数Dzf)(零内任一周线的积分值为沿区域Dζdζf)(,),(积分与路径无关从而则函数zzdfzF0)()(内解析，在D.),(0Dzz)()(zfzF且)1()2(2.3定义内，在区域D符合条件)()(zfz.)()(数的一个不定积分或原函为的函数zfz;)(d)()(0的一个原函数是zfζζfzFzz.)(一个常数的任何两个原函数相差zf显然；内解析在Dz)(,)(连续如果函数zf则称定理3.8.,)()(d)(,D)()(,)(100110内的两点为域这里那末内的一个原函数在为内处处解析在单连通域如果函数DzzzΦzΦzzfzfzΦDzfzz由原函数的定义，可得到类似于数学分析中的牛顿-莱布尼兹公式)5.3(说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用与数学分析中类似的方法去计算.例1.dcos02的值求izzz解izzz02dcosizz022dcos21iz02sin21)sin(212.sin212(使用了分析学中的“凑微分”法)例2.dcos0的值求izzzizzz0dcosizz0)(sindiizzzz00dsin]sin[解izzz0]cossin[.11e此方法使用了微积分中“分部积分法”1cossiniiiieeziziz2sin2cosizizeez12211eeieei例3.d1)1ln(,10Re,0Im1的值求内的圆弧试沿区域izzzzzz解,1)1ln(在所设区域内解析函数zz,2)1(ln2z它的一个原函数为izzz1d1)1ln(iz122)1(ln]2ln)1([ln2122i2ln42ln212122i.82ln2ln833222i例4iidzz)1ln(计算解是单连通的，所以域内解析，又所考虑的区的区域一段上是在全平面除去负实轴因为Dxz1)1ln(dzzzzzdzziiiiii1|)1ln()1ln(dzziiiiii)111()1ln()1ln(iizziiii|)]1ln([)1ln()1ln()1ln()1ln()(2lniiiiiiiii11ln22lniiiln22ln.222lniii3.柯西积分定理的推广.3.3与以下定理相互等价首先证明柯西积分定理3.3定理之内部，为是一周线，设CDC)(zf函数上解析，在闭域CDD.0)(Cdzzf则证：)1(的假设，由定理3.3平面上一含必在函数zzf)(内解析，的单连通域GD;0)(Cdzzf3.33.3推证定理由定理有于是由定理3.3)2(:3.3的假设由定理内在单连通区域“函数Dzf)(，解析,”内任一周线为DC之内部，则为今设CG,)(上解析必在闭域CGGzf就有于是由定理3.3.0)(Cdzzf更具一般性，下面的定理比定理3.3它是柯西积分.定理的进一步推广3.33.3推证定理由定理9.3定理之内部，为是一条周线，设CDC函数内解析，在Dzf)(上连续在CDD,)”“连续到C则.0)(Cdzzf连续，沿由于Czf)(.)(存在所以积分Cdzzf，逼近的内部作周线在CCCα知由定理3.3,0)(αCdzzfαCdzzf)(从而也可以说(.)(Cdzzf4.柯西积分定理推广到复周线的情形现将柯西积分定理推广到多连域中.即将柯西积分定理从以单(一个)周线为边界的有界单连通区域，推广到以多条周线组成的“复周线”为边界的有界多连通区域.定义3.3,,,1210nCCCCn条周线设有,1C其中，的外部中每一条都在其余各条nCC2.0的内部又全都在C而它们,10CC的内部同时又在在连通界的外部的点集构成一个有1,2nCCn，区域D此时，的边界是一条称区域D:复周线nCCCCC210为逆时针方向，其中0C.2的情形右图是n.210为它的边界，，，以nCCCC,,,,21为顺时针方向nCCCD0C1C2C定理3.10所围是由复周线设nCCCCD10,1连通区域成的有界n,)(内解析在函数Dzf在,上连续CDD则,0)(Czf或写成,0)()()(10nCCCdzzfdzzfdzzf)6.3(或.)()()(10nCCCdzzfdzzfdzzf)7.3(证明：)2(情形证明取n内取三条互不相交在D,,,321作为割线的光滑弧段LLL,0C用它们依次将,21DCC连接起来从而将区域D0C1C2C割破，1L2L3L就被分成两个单于是D连通区域，其边界各是一条周线，,21和分别记作12知由定理9.31,0)(dzzf2,0)(dzzf将上述两等式相加，的积分在注意到沿,,321LLL一次，相反的两个方向各取了.相加过程中相互抵消于是，由复积分的基本性质(3)可得到.0)(Czf从而有,0)()()(10nCCCdzzfdzzfdzzf)6.3(.)()()(10nCCCdzzfdzzfdzzf)7.3(或——定理3.10也称复合闭路定理.有时若,1n.)()(10CCdzzfdzzf解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.注意:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.闭路变形原理这一重要事实，称作.)()()(10nCCCdzzfdzzfdzzfD0C1C2C)2(n0C1CD0C)1(n例5.d)1(1212izzzz计算积分解)1(12zz,2111上解析都在和因为izizz根据柯西积分定理得212d)1(1izzzz21d1211211izzizizz,11211izizz212121d121d121d1izizizzizzizzz021d121izzizi221.i例6解.1,d122曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分zzzzz在复平面因为函数122zzz依题意知,xyo1也包含这两个奇点，内有两个奇点,10zz和不相交的正向圆周内作两个互不包含也互在xyo1,01zC只包含奇点,12zC只包含奇点1C2C根据复合闭路定理,zzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0