复变函数论第三版钟玉泉PPT第七章

复变函数湖北民族学院理学院12020/1/237.1解析变换的特性7.1.1解析变换的保域性7.1.2解析变换的保角性7.1.3单叶解析变换的共形性第七章共形映射复变函数湖北民族学院理学院22020/1/23定理7.1(保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域..0|)(|0wzf证首先证明G的每一点都是内点.设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.1解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有||0*ww.|||)(|0*0对在邻域复变函数湖北民族学院理学院32020/1/23因此根据儒歇定理,在C的内部*00*])([)(与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t)[t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：))](([:21ttttzfw就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）一条连接w1,w2,内接于且完全含于G的折线1总结以上两点,即知G=f(D)是区域.复变函数湖北民族学院理学院42020/1/23证因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.定理7.2设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.注定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.注满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.定理7.3设函数w=f(z)在点z0解析,且f(z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.复变函数湖北民族学院理学院52020/1/230)('0zf)(Cf))](([:10ttttzfw7.1.2解析变换的保角性—导数的几何意义设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).因此C在z0有切线,)('0tz就是切向量,经变换w=f(z)的参数方程应为)('0tz0)('0tz则且必存在0arg'().zt它的倾角为Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲线由定理7.3及第三章习题(一)13,在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.0)()()(000tzzftw又由于故在w0=f(z0)也有切线，设其倾角为，则)('0tw就是切向量,复变函数湖北民族学院理学院62020/1/23Cx0yzz0),('arg)('arg)('arg000tzzftw).('arg0zf0()Re,ifz设,|)(|0Rzf,z0+∆z图7.1w=f(z)uv0ww0w0+∆w.0lim0Rzwz且（7.1）（7.2）如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：(7.1)说明:象曲线在点的切线正向,可由原曲线C在点的切线正向旋转一个角度得出。00()wfz0z0arg()fz仅与有关,而与经过的曲线C的选择无关,称为变换在点的旋转角。0arg()fz0z0z00()wfz0z)(arg0zf—导数辐角的几何意义.(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是,它仅与有关,而与过的曲线C的0|()|Rfz0z0z复变函数湖北民族学院理学院72020/1/230z方向无关,称为变换w=f(z)在点的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将处无穷小的圆变成处的无穷小的圆,其半径之比为.0zz0ww|)(|0zf上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.上式可视为000fzfzfzzz01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离伸长；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离缩短；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离不变。复变函数湖北民族学院理学院82020/1/23经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.Ox(z)z01C2C定义7.1若函数w=f(z)在点的邻域内有定义,且在点具有:(1)伸缩率不变性;(2)过的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0保持方向;则称函数w=f(z)在点是保角的,或称w=f(z)在点是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.z0z0复变函数湖北民族学院理学院92020/1/23转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0复变函数湖北民族学院理学院102020/1/23相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线1与2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。yOxOuv(z)(w)z0w0C1C21211222121复变函数湖北民族学院理学院112020/1/23定理7.4如w=f(z)在区域D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.推论7.5如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.总结上述讨论，我们有以下结论：例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i处的导数值,并说明几何意义。解w=f(z)=z3在全平面解析，。21333ifiie）在z=i处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为。2)00,0ffzz3=z在处显然不具有保角性。23)(zzf复变函数湖北民族学院理学院122020/1/23定义7.2如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是共形的,也称它为D内的共形映射.)(1wfz).)(,()()(000)(1010GzfwDzwfzf7.1.3单叶解析变换的共形性定理7.6设w=f(z)在区域D内单叶解析.则(1)w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D).(2)反函数在区域G内单叶解析,且证(1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.(2)由定理6.11,,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.)(0)(00Dzzf于是,当时,,即反函数在区域G内单叶.故0zz0ww)(1wfz复变函数湖北民族学院理学院132020/1/23.000000111)()(zzvuxxxxxxyxyxuvvuvvuu22||||)(,0|)('|||22Dzzfivuxx由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点及其一个邻域内为连续，即在邻域中,当时,必有000ivuw)(0wN)(0wN0ww)()(0101wfzwfz故)(1lim1lim1)()(lim000000011000zfzzwwzz).)(,()()(000)(1010GzfwDzwfzf即复变函数湖北民族学院理学院142020/1/23在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f'(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212定理的几何意义.复变函数湖北民族学院理学院152020/1/23OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212.|)(|||||)(|||||)(|00000zfwwzzzfwzzwwzf近似地映射成圆也将很小的圆由此看出映射伸缩率复变函数湖北民族学院理学院162020/1/23第二节分式线性变换7.2.1分式线性变换及其分解7.2.2分式线性变换的映射性质7.2.3分式线性变换的应用复变函数湖北民族学院理学院172020/1/23,0abazbwadbccdczd(7.3)为分式线性变换.简记为w=L(z).1.定义7.2.1分式线性变换及其分解称变换注:20adbcwced()constantwLz①条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则②约定：w=L(z)的定义域为C：dwbzcwa(7.4)结论①w=L(z)将CC②w=L(z)的逆变换为③w=L(z)在扩充z平面上是保域的复变函数湖北民族学院理学院182020/1/232.分式线性变换w=L(z)的分解00abcdwzdd10aadczdbazbabcadcccwczdczdccczd结论：分式线性变换w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合0wkzhkⅠ(1)iwezR(2)0wz(3)0wzh整线性变换旋转变换伸缩变换平移变换1wzⅡ1(4)wz反演变换关于单位圆周的对称变换关于实轴的对称变换zw)5(复变函数湖北民族学院理学院192020/1/23O(z)(w)zwbi)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.O(z)=(w)zwii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)倍后,就得到w.iea复变函数湖北民族学院理学院202020/1/2311111111iii),11(,,1)1,||1,..ii要从作出应先作出点关于圆周对称的点然后再作出点关于实轴对称的点即得2rPOOPOPTTPO~zw1w1O圆周的对称点CPP'rTOP与P'关于圆周C互为对称点OPOTOTPO::复变函数湖北民族学院理学院212020/1/232/1/1/1)iiizzwzw）（，这时有首先讨论点的两条曲任何穿过共形映射的补充规定，0z共形映射。时是解析函数，因此是当zz