复变函数论钟玉泉第六章

1第一节留数第六章留数理论及其应用1.留数的定以及留数定理2.留数的求法3.函数在无穷远点的留数2定义6.1设f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分)0,|:|()(21Razdzzfi).(Rezfsaz为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：1.留数的定义及留数定理将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：()0|-|nnnfzzaza1R()2enzannczadzisfz11011.22nnnnnncdzczadzizcia即RazdzzfiCasf||1)(21)(Re3定理6.1(柯西留数定理)f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,…an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,…an外连续,则nkazczfsidzzfk12)(Re)(nkazkkk，，　21:Dzfsidzzfzfnkaznickk11Re2　证作圆周使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路定理有注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。42.留数的求法(1)常规方法:1Re()zasfzc不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。(1)常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式，即负幂项的系数。(3)a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求(2)a为有限可去奇点时:Re()0zasfz运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。11)(azC(4)a为极点时，有如下结论.1C5()()()nzfzza其中(z)在点a解析,(a)≠0，则:定理6.2设a为f(z)的n级极点,即.)]()[(lim)!1(1)!1()()(Re)1()1(nnaznazzfaznnazfs推论6.3设a为f(z)的一级极点,),()()(zfazzlRim()(())e.()zazaszazaffz则推论6.4设a为f(z)的二级极点,),()()(zfazz2则.])()[(lim)()(Re2zfazazfsazaz定理6.5设a为()()()zfzz的一级极点0)(,0)(,0)(aaa()Re()()zaasfza6例1求nzzezf)(在0z的留数.解阶极点，的是因为nzfz)(00,Resnzze所以.)!1(1nnznnnzzezzn110ddlim)!1(17例2求6sin)()()(zzzzQzPzf在0z的留数.分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0z是zzsin的三级零点由定理6.2得.sinddlim)!13(1]0),(Res[63220zzzzzzfz的三级极点，是所以)(0zfz计算较麻烦.8如果利用洛朗展开式求1c较方便:!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16czzz,!5!313zz解9说明:0z如为n级极点，当n较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求1c来计算留数.66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!512.在应用定理6.2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.n6:1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将n但有时把n取得比实际的如上例取10例3计算积分,d)1(2zzzeCzC为正向圆周:.2z解20Res[(),0]lim(1)zzefzzzz20lim1(1)zzez221)1()1(ddlim)!12(1]1),(Res[zzezzzfzz0z为一级极点,1z为二级极点,11zezzzddlim121)1(limzzezz,0zzzeCzd)1(2所以)01(2i]1),(Res[]0),(Res[2zfzfi.2i12设,求留数)0,(Rezfs3sec)(zzzf计算积分逆时针方向。,2|2:|,)2)(1(zCzzzdzC计算积分逆时针方向。,2|:|,))(2(sin2zCzzzdzC练习求在的留数,其中a,b是实常数.222)()(zaezfibzai133.函数在无穷远点的留数Re()zsfz定义6.2设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-{∞}：0≤r|z|+∞内解析，则称)|:|(,)(rzdzzfi21为f(z)在点∞的留数,记为)(Rezfsz,其中-是顺时针方向.设f(z)在0≤r|z|+∞内的洛朗展式为nnzczczczcczfnn101)(由逐项积分定理即知11Re()(),2zsfzfzdzci也就是说，等于f(z)在点的洛朗展式中项的系数的相反数。z114定理6.6如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),则f(z)在各点的留数总和为零，即.)(Re)(Re01zfszfsznkazk1Re()R.e()knzazksfzsfz,,,,21naaa15例2利用无穷远点的留数计算积分132342||3(5)(1)zzdzIzz别无奇点。可能为奇点外，内除道，在一周的围向）绕平面上正向（逆时针方是在别无奇点。相应地，可能为奇点外，外除在周的围道，正向（顺时针方向）一是绕其中)/1(00)(tftCttCzfCzC例1计算积分5621ZzIdzz函数在无穷远点的留数的另一计算公式]1)1([Re)(Re20ttfszfstz或写成如下形式CCtdttfidzzfisf2)1(21)(21)(Re16第二节用留数定理计算实积分1.计算型积分.2.计算型积分3.计算型积分dR20)sin,(cosdxxQxP)()(dxeimxxQxP)()(某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。17表示,的有理函数,1.计算型积分dR20)sin,(cos)sin,(cosRcossin11cos,sin,22zzzzdzdiiz1120||1(cos,sin),,22zzzzzdzRdRiiz并且在]2,0[上连续.ize当z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周，有这里令zzfzd)(1z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点..),(Resπ21nkkzzfi18例1计算积分)0(dcossinπ202baba解,iez令则,21sin2ziz,21cos2zz,ddiiezizzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222π20212222d)2(2)1(zzbazbzizz192222π2π2bbaba).(2222baab22222212(1)d2zizzaabaabzbzzbbbbaazfzfi)(),(Res0),(Resπ22220例2计算).0(sindπ02axax解π0π0222cos1dsindxaxxaxπ022cos12d21xax,2tx令π202cos1d21tatizzzzazd22)1(112112.1)12(2d212zzazzi211)12(1221aaz极点为:π02sindxax所以.1)12(π22a(在单位圆内)1)12(1222aaz(在单位圆外))].11212(),(Res[2π22aazfii22例3.)10(dcos21cos22π02的值计算pppI解,10p由于)cos1(2)1(cos2122pppp内不为零，在π20故积分有意义.)(212cos22iiee由于),(2122zzizzpzzpzzIzd221122112223izzpzzpzzIzd2211221122zpzpzizzzd))(1(21124,1,,0ppz被积函数的三个极点内，在圆周1,,0zpz为一级极点，为二级极点，且pzz0.d)(1zzfz24上被积函数无奇点，所以在圆周1z))(1(21ddlim]0),([Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz,2122ipp,)1(21224pipp))(1(21)(lim]),([Res24pzpzizzpzpzfpz)1(2121π222222pippippiI.1π222pp因此25).0(cosd2π022aa计算积分思考题262.计算型积分dxxQxP)()(),(Re:21充分大RzSiR引理6.1设f(z)沿圆弧lim()Rzfz上连续，且于SR上一致成立(即与21lim()().RSRfzdzi为互质多项式,且满足条件:(1)n-m≥2;),0()(0110cczczczPmmm),0()(0110bbzbzbzQnnn定理6.7设()()()PzfzQz为有理分式,其中Im0()2Re().kkazafxdxisfz0xa2aka1yza3a4于是有;,0)()2(RxxQ中的无关),则21（大圆弧引理）27例4计算积分),0,0()()(d22222bababxaxx)()(1)(22222bzazzRaizbzaiz)()(1222解在上半平面有二级极点,aiz.biz一级极点,)(21222babi]),(Res[aizR28bizbizaz)()(1222,)(43222322abiaab]}),([Res]),([Res{π2aizRbizRi.)(2π)2(23bababa222222322)(21)(432abbiabiaabi]),(Res[bizR)()(d22222bxaxx所