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九年一貫數學領域分數和小數能力指標的詮釋--分數四則運算主持人：李源順計畫參與人員：胡蕙芬孫德蘭王秀玲余新富張勝傳何佳恩李勇諭楊棻雅黃淑樺緣起數學能力指標的編寫方式不同：八二年版數學課程標準內容的編寫方式。例如，八二年課程說明四年級學生應學習「使用量角器量角及畫角；透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並作圖；透過製作的活動，瞭解圓心、半徑、直徑、圓周；透過直角認識直線的垂直與平行；由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名；由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形；圓規的使用。」九年一貫能力指標：「S-2-1：就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。」國科會的目標導向研究計畫：利用一年多的時程為各個能力指標的素材、活動和評量進行有計劃的實徵研究。研究目的以九年一貫數學學習領域中的分數四則運算能力指標的詮釋為主，發展教學素材、設計合適的教學活動及設計評量上述各項能力指標的試題，最後將研究成果寫成可供中小學數學教師參考用的推廣性專書。分數四則運算相關能力指標九年一貫暫行綱要能力指標有關分數四則運算：N-1-7以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份，並進行同分母真分數的合成、分解、比較活動(和1)。N-2-5能進行同分母真分數的合成、分解、比較活動。N-2-6在具體情境中，能以假分數或帶分數解決同分母分數的合成、分解、比較以及簡單整數倍的問題。N-3-3在具體情境中，運用通分解決異分母分數的合成、分解、比較問題。N-3-4在具體情境中，解決分數乘以分數和分數除以分數的問題。N-3-7能察覺分數乘法與分數除法的運算格式。N-3-8能理解分數乘法與分數除法的運算格式。A-3-8能做分數的四則運算。研究方法內容分析合作行動研究法教室觀察法半結構式面談法紙筆測驗研究成果內容分析針對同分母真分數的加減法、同分母分數的加減法、異分母分數的加減法、分數乘法、分數除法等單元主題的能力指標、相關文獻，例如六四年版課程，八二年版課程，九年一貫課程綱要，NCTM的叢書(NCTM,2000;Morrow&Keenney,1998;Litwller&Bright,2002)，加州課程標準(CaliforniaDepartmentofEducation,2000)等進行文本分析。研究成果教學活動請國小教師共同參與進行教學素材和教學活動設計的行動研究，然後分別在下列年級進行有教學觀察，有訪談，有實驗組和對照組，有前測、後測和延後測的教學實驗。三年級下學期(同分母真分數的加減法)四年級下學期(同分母分數的加減法)五年級上學期(分數的乘數倍)五年級下學期(異分數的加減法)六年級上學期(分數的除法)教學實驗論文正在撰寫中研究成果評量試題依據情境結構、語意結構等設計一至兩份試卷。在研究前期先進行預試。經過修改之後，依據所需樣本數大小和教學進度安排、學童的學習成效等因素，分別台北、台中、屏東和高雄等地區施測。n-1-07分兩份試題各在三、四、五年級施測六個班。n-2-06各在四、五年級施測六個班。n-3-03分兩份試題各在五、六年級施測六個班。n-3-04分兩份試題在六年級施測六個班。這些施測試題，目前正在加緊分析中(包括答對率、能力因子結構–吳毓瑩教授)。分數除法--內容分析讓學童自行建構除法計算(Sharp,1998;82年版)3/4÷1/4，學童用重複減法的方式進行解題。同時呈現圖形圖示。分子不能整除的同分母法的問題，例如，8/12÷5/12，如圖所示，減去1個5/12之後，剩下的是3/5個5/12。分數除法--內容分析異分母除法的問題，例如，3/4÷1/6，兩數的分母可以變成12，因此透過分割(擴分)可以變成9/12÷2/12，結果為41/2。結果小於1的除法，例如1/6÷3/6，此時減法的概念無法運用，只能從部份量(portionofrequestedamount)的觀點來解釋說，1/6是3/6的1/3除法算則很難建構分數除法--內容分析同單位分數的觀點(64年版；Flores，2002)「王家有3/4公頃的田，李家有2/5公頃的田，王家的田是李家的多少倍?」圖示如下圖一分數除法–內容分析倒數的觀點(92課程綱要；Flores,2002)「披薩4個，如果每位小朋友可分得1/3個，共可分給多少人？」，先理解1個披薩，每位小朋友可分得個，則1個披薩可分給3個小朋友，因此÷1/3，相當於3倍，亦即×3，因此可分給12位小朋友。「披薩4個，如果每位小朋友可分得2/3個，共可分給多少人？」，由於除數變為原來的兩倍，從包含除的經驗知道，÷2/3的結果相當於÷1/3的結果還要再÷2，所以÷2/3的結果，相當於×3÷2，相當於×3/2。最後將算式記為4÷2/3＝4×3/2＝6。分數除法–內容分析：小結單位量轉換和圖形表徵的觀點大雄家有4/5公頃的農田，計安家有2/3公頃的農田，大雄家的農田是計安家農田的幾倍？4/5公畝的土地原來是用１公畝來說明土地有多大，改用2/3公畝來說明4/5公畝有多大？除數2/3(分母)公畝佔5×2塊，被除數4/5(分子)公畝佔4×3塊4/5÷2/3＝(4×3)/(5×2)=4/5×3/2教學活動準實驗研究法實驗組(35人)和對照組(34人)前測、後測和延後測實驗組教師：六年的高年級教學經驗，教材自編，教學時數七節，為數學科任教師，平常沒有時間和學生碰面，較少設計試題給學生做。對照組教師：六年的高年級教學經驗，教學以講述法為主，平日教學認真負責，重視數學複習的課業，並經常設計試題，作為評量學童學習的參考。分數除法單元依某一版本數學課本進行教學。教學活動教學設計重視概念性、程序性、解題性知識情境結構(一維、二維；連續量、離散量)，語意結構(等分除、包含除)培養溝通能力教學流程復習舊經驗：整數除以整數結果為整數、分數分數除以整數的等分除，並連結圖形表徵真分數除以整數的等分除與包含除問題進行的對比教學，並連結圖形表徵從真分數除以整數的包含除連結真分數除以真分數的包含除–列式；解題–單位量轉換加圖形表徵分數除以分數的包含除分數除法問題的解題活動(利用問題簡化的方式讓學生理解)註：利用非分數除法問題檢驗學童是否有假性了解的現象教學實驗結果(前測，無分數除法問題)共計15題：計算題有7題（加法2題、減法1題、乘法4題）；比較大小有2題（一題數字較小，一題數字較大）；作圖題有2題，各有2個小題；文字題有4題（分數加法1題，分數乘法2題，整數除法，1題）試題組別平均答對率顯著性（雙尾）總體對照組65%.699實驗組66%計算對照組75%.771實驗組75%比較對照組84%.184實驗組92%作圖對照組54%.716實驗組56%應用對照組52%.209實驗組59%教學實驗結果(後測，延後測)共計20題：計算題10題，應用題8題，作圖題2題組別答對率平均數相等的顯著性雙尾後測延後測後測延後測總分對照組54%52%.074.007*實驗組64%70%作圖題對照組25%24%.000*.000*實驗組80%78%計算題對照組69%66%.616.133*實驗組72%77%應用題對照組40%40%.266.035*實驗組47%54%教學實驗結果(概念性知識)試題組別個數答對率顯著性雙尾後測延後測【作圖1-圖】一條鍛帶有31/2公尺長，每1/2公尺分成1小段，可以分成幾小段？請用數線作圖。對照組作圖44％38％後測：.000*延後測：.000*實驗組89％82％對照組列式74％75％後測：.214延後測：.169實驗組86％88％【作圖2】3/4張紙是2/3張紙的幾倍？請用面積分割方式作圖。實驗組作圖6％9％後測：.000*延後測：.000*對照組71％74％對照組列式56％44％後測：.184延後測：.002*實驗組71％79％教學實驗結果(解題性知識)試題組別答對率顯著性雙尾後測延後測【應用3】商人買進511/16公斤的魚鬆，每7/10公斤裝成一罐，盡量裝完，可以裝成多少罐？還剩下多少公斤？對照組6％16％後測：.046＊延後測：.040＊實驗組23％38％【應用4】12塊核桃裝一盒，2/3盒裝一盤，要拿出多少塊才會正好拿了1/6盒？對照組24％28％後測：.225延後測：.041＊實驗組37％53％【應用5】5/12瓶的果汁可以裝成一杯，勝忠喝了3/8瓶果汁，請問勝忠喝的果汁可以裝成多少杯？對照組29％28％後測：.858延後測：.022＊實驗組31％56％分數除法的教學建議教學素材概念性知識–單位量轉換加圖形表徵。若有更多的時間教學可以再給其他觀點的概念發展經驗。程序性知識–回家練習即可。解題性知識–學童需要更豐富的經驗。教學活動整數除以整數結果為分數分數除以整數的等分除分數除以整數的包含除分數除以分數的包含除解題性活動。溝通討論，對比教學，簡化問題，假性了解的問題分數除法的教學建議教學評量評量時不要所有的問題都是除法問題，也要參雜其他加、減、乘的題型，甚至多餘資訊的問題，養成學生真正了解題意後再進行解題的能力。分數除法的概念對學生而言較為抽象，因此，我們可以運用各種評量方式，例如在教學過程中，運用形成性評量，評量學生在學習過程中可能的學習問題，適時調整的教學。評量時要同時重視概念性知識、程序性知識、和解題性知識，且各個知識的題型儘可能多樣化且和上述的分數除法教學素材配合。對於分數除法的概念性知識的理解則建議運用單位量的轉換輔以圖形表徵來探究，畢竟圖形表徵也是一種溝通的良好工具，是學童較易表達其概念的方式。分數除法的教學建議教學時機和時間國一還要進行教學增加教學時數敬請指教