3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(4课时)

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第一课时问题提出t57301p21.什么是一元二次不等式？其一般形式如何？基本概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式.20axbxc++20axbxc++一般形式：或(a＞0).2.在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究.一元一次不等式和一元二次不等式都只含有一个未知数，在实际问题中，我们将遇到需要用两个未知数来表示不等关系，这是一个新的学习内容.mnpqaaaa探究(一)：二元一次不等式的有关概念【背景材料】一家银行的信贷部计划年初投入不超过2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.因此，信贷部应如何分配贷款资金就成为一个实际问题.思考1：设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为y万元，从贷款总额的角度分析有什么不等关系？用不等式如何表示？x＋y≤2500思考2：从银行收益的角度分析有什么不等关系？用不等式如何表示？(12%)x＋(10%)y≥3,即6x＋5y≥150思考3：考虑到用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值，x、y还要满足什么不等关系？x≥0，y≥0思考4：根据上述分析，银行信贷部分配资金应满足的条件是什么？2500651500,0xyxyxy思考5:不等式x＋y≤2500与6x+5y≥150叫什么名称？其基本含义如何？二元一次不等式:含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式.思考6:二元一次不等式的一般形式如何？怎样理解二元一次不等式组？二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.一般形式：Ax＋By＋C≤0或Ax＋By＋C≥0思考7：集合{(x，y)|x＋y≤2500}的含义如何？满足不等式x＋y≤2500的所有有序实数对（x，y）构成的集合.思考8：怎样理解二元一次不等式（组）的解集？满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x，y），所有这样的有序实数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.探究(二)：特殊不等式与平面区域二元一次不等式（组）的解是有序实数对，而直角坐标平面内点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，所以二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.x＞ax＜a思考1：在平面直角坐标系中，方程x＝a表示一条直线，那么不等式x＞a和x＜a表示的图形分别是什么？xyox=axyox=a思考2：在平面直角坐标系中，不等式y≥a和y≤a分别表示什么区域？y≥axyoy=ay≤axyoy=ay＞x思考3：在平面直角坐标系中，不等式y＞x和y＜x.分别表示什么区域？xyoy=xy＜xxyoy=x思考4：在平面直角坐标系中，不等式y＞－x和y＜－x分别表示什么区域？y＞－xxyoy=－xy＜－xxyoy=－x探究(三)：一般不等式与平面区域思考1：在平面直角坐标系中，方程x－y－6＝0表示一条直线，对于坐标平面内任意一点P，它与该直线的相对位置有哪几种可能情形？在直线上；x－y－6＝0xyOPPP在直线左上方区域内；在直线右下方区域内.思考2：若点P（x，y）是直线x－y－6＝0左上方平面区域内一点，那么x－y－6是大于0？还是小于0？为什么？x－y－6＝0xyOP(x,y)A(x,y0)x－y－6＜0y＞y0思考3：如果点P（x，y）的坐标满足x－y－6＜0，那么点P一定在直线x－y－6＝0左上方的平面区域吗？为什么？x－y－6＝0xyOP(x,y)A(x,y0)x－y－6＜0思考4：不等式x＋y－6＜0表示的平面区域是直线x＋y－6＝0的左下方区域？还是右上方区域？你有什么简单的判断办法吗？x＋y－6＝0xyOx＋y－6＜0思考5：不等式x＋y－6＜0和不等式x＋y－6＞0分别表示直线l：x＋y－6＝0左下方的平面区域和右上方的平面区域，直线l叫做这两个区域的边界.那么不等式x＋y－6＜0和不等式x＋y－6≤0表示的平面区域有什么不同？在图形上如何区分？x＋y－6＝0xyOx＋y－6＜0x＋y－6＞0x＋y－6＜0xyO包括边界的区域将边界画成实线，不包括边界的区域将边界画成虚线.x＋y－6≤0xyO4x－3y≤12理论迁移例画出下列不等式表示的平面区域.（1）x＋4y＜4；(2)4x－3y≤12.x＋4y＜4xyOxyO143－4小结作业1.对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点P(x，y)，将其坐标代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同.在几何上，不等式Ax＋By＋C＞0（或＜0）表示半平面.2.画二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，当边界不过原点时，常把原点作为特殊点.3.不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域位置与A、B的符号有关，相关理论不要求掌握.作业：练习：1，2.（做书上）习题3.3A组：1.3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第二课时问题提出1.二元一次不等式有哪两个基本特征？其一般形式如何？特征：含有两个未知数；未知数的最高次数是1.一般形式：Ax＋By＋C≤0或Ax＋By＋C≥0.2.怎样画二元一次不等式表示的平面区域？→取特殊点定区域.确定边界线虚实→画边界3.对实际问题中的不等关系，常需要用二元一次不等式组来表示，因此，如何画二元一次不等式组表示的平面区域，就是一个新的学习内容.x≤2yy＜－3x＋12思考2：不等式x≤2y表示的平面区域是哪一个半平面？思考1：不等式y＜－3x＋12表示的平面区域是哪一个半平面？探究一：两个不等式与平面区域xyoy＝－3x＋12xyox＝2yÛxyO3x＋y－12＝0x－2y＝0思考3:不等式组表示的平面区域与上述两个平面区域有何关系？3122yxxy思考4：两条相交直线y＝－3x＋12和x＝2y将坐标平面分成4个角形区域，其余三个平面区域(不含边界)用不等式组分别如何表示？3x＋y－12＝0x－2y＝03122yxxy3122yxxy3122yxxyxyO3122yxxy探究（二）：多个不等式与平面区域【背景材料】要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：321第二种钢板112第一种钢板C规格B规格A规格思考1:用第一种钢板x张，第二种钢板y张，可截得A、B、C三种规格的小钢板各多少块？321第二种钢板112第一种钢板C规格B规格A规格A种:2x＋y块B种:x＋2y块C种:x＋3y块思考2：生产中需要A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，那么x、y应满足什么不等关系？用不等式如何表示？215+2y18+3y27xyxxA种:2x＋y块B种:x＋2y块C种:x＋3y块思考3：考虑到x、y的实际意义，x、y还应满足什么不等关系？0,0xy思考4：按实际要求，x、y应满足不等式组，如何画出该不等式组表示的平面区域？215+2y18+3y270,0xyxxxy215+2y18+3y270,0xyxxxy2x＋y＝15x＋3y＝27x＋2y＝18OxyxOyx－y＝0x－y－1＝0理论迁移例1画出下列不等式表示的平面区域.（1）（2）()(1)0xyxy---2xyx?y＝－xy＝－2xxOyy＝xy＝2x例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.xyO41018156600xyxyxy设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则相应的平面区域如图.410652200xyxyxy6x＋5y＝224x＋y＝10例3求不等式组表示的平面区域的面积.20202xyxyxìï+-ïïïï-+?íïïï£ïïîxyOx＋y－2＝0x－y＋2＝014242S=创=x＝2小结作业1.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.不等式组表示的平面区域可能是一个多边形，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成.若不等式组的解集为空集，则它不表示任何区域.作业：练习：4.习题3.3B组：1，2.第一课时3.3.2简单的线性规划问题t57301p21.“直线定界，特殊点定域”是画二元一次不等式表示的平面区域的操作要点，怎样画二元一次不等式组表示的平面区域？问题提出2.在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，如何利用数学知识、方法解决这些问题，是我们需要研究的课题.t57301p2探究（一）：线性规划的实例分析【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h计算.思考1：设每天分别生产甲、乙两种产品x、y件，则该厂所有可能的日生产安排应满足的基本条件是什么？2841641200xyxyxy280403xyxy即思考2：上述不等式组表示的平面区域是什么图形？x＋2y＝8xOyy＝3x＝4280403xyxy思考3：图中阴影区域内任意一点的坐标都代表一种生产安排吗？阴影区域内的整点（坐标为整数的点）代表所有可能的日生产安排.x＋2y＝8xOyy＝3x＝4280403,xyxyxNyN思考4：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、y的关系是什么？z＝2x＋3y.思考5：将z＝2x＋3y看作是直线l的方程，那么z有什么几何意义？直线l在y轴上的截距的三倍，或直线l在x轴上的截距的二倍.思考6：当x、y满足上述不等式组时，直线l：的位置如何变化？233zyx经过对应的平面区域，并平行移动.x＋2y＝8xOyy＝3x＝4280403xyxy思考7：从图形来看，当直线l运动到什么位置时，它在y轴上的截距取最大值？经过点M（4，2）x＋2y＝8xOyy＝3x＝4M思考8：根据上述分析，工厂应采用哪种生产安排才能使利润最大？其最大利润为多少？每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.M（4，2）x＋2y＝8xOyy＝3x＝4t57301p2探究（二）：线性规划的有关概念（1）线性约束条件：上述关于x、y的一次解析式z＝2x＋y是关于变量x、y的二元一次函数，是求最值的目标，称为线性目标函数．在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，称为线性约束条件．（2）线性目标函数：满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．（3）线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．（4）可行解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．（5）可行域：（6）最优解：，求z的最大值和最小值.例1设z=2x－y，变量x、y满足下列条件x4y33x5y25x1ìï-?ïïïï+?íïïï³ïïî理论迁移yX0123456712345x-4y+3=03x+5y-25=0x=15yX012346712345x-4y+3=03x+5y-25=0x=1，求z的最大值和最小值.例1设z=2x－y，变量x、y满足下列条件x4y33x5y25x