易错点13利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最...

【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）例13、等差数列na的首项10a，前n项和ns，当lm时，mlss。问n为何值时ns最大?【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知ns=2111222nnddfnnadnan此函数是以n为变量的二次函数，因为10a，当lm时，mlss故0d即此二次函数开口向下，故由flfm得当2lmx时fx取得最大值，但由于nN，故若lm为偶数，当2lmn时，ns最大。当lm为奇数时，当12lmn时ns最大。【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如2nsanbn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由nsanbn知数列中的点,nsnn是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和nnscac所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13】（2001全国高考题）设na是等差数列，ns是前n项和，且56ss，678sss，则下列结论错误的是（）A、0dB、70aC、95ssD、6s和7s均为ns的最大值。答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例14、已知关于的方程230xxa和230xxb的四个根组成首项为34的等差数列，求ab的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设34是方程230xxa的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程230xxa的另一根是此等差数列的第四项，而方程230xxb的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3579,,44,44故2735,1616ab从而ab=318。【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa；对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa；若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列；若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练14】（2003全国理天津理）已知方程220xxm和220xxn的四个根组成一个首项为14的等差数列，则mn=（）A、1B、34C、12D、38答案：C【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况例15、数列}{na中，11a，22a，数列}{1nnaa是公比为q（0q）的等比数列。（I）求使32211nnnnnnaaaaaa成立的q的取值范围；（II）求数列}{na的前n2项的和nS2．【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1nnaa是公比为q（0q）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I）∵数列}{1nnaa是公比为q的等比数列，∴qaaaannnn121，2132qaaaannnn，由32211nnnnnnaaaaaa得221111qqqaaqaaaannnnnn，即012qq（0q），解得2510q．（II）由数列}{1nnaa是公比为q的等比数列，得qaaqaaaannnnnn2121，这表明数列}{na的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又11a，22a，∴当1q时，nS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaaqqqqaqqannn1)1(31)1(1)1(21，当1q时，nS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222()1111(．【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中qaann2是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列na的公比为q，前n项和0ns（1）求q的取值范围。答案：1,00,【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。例16、．（2003北京理）已知数列na是等差数列，且11232,12aaaa（1）求数列na的通项公式（2）令nnnbaxxR求数列nb前项和的公式。【思维分析】本题根据条件确定数列na的通项公式再由数列nb的通项公式分析可知数列nb是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得2nnbnx令ns232462nxxxnx（Ⅰ）则23124212nnnxsxxnxnx（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得231122222nnnxsxxxxnx当1x11211nnnxxsnxxx当1x时24621nsnnn综上可得：当1x11211nnnxxsnxxx当1x时24621nsnnn【知识点归类点拔】一般情况下对于数列nc有nnncab其中数列na和nb分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练16】（2005全国卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb,0,0nNab当ab时，求数列na的前n项和ns答案：1a时21221221nnnnanaaasa当1a时32nnns.【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求nS321121111…n3211．【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n项和公式得2)1(321nnn，∴)111(2)1(23211nnnnn，n取1，2，3，…，就分别得到3211,211,11，…，∴nS)111(2)4131(2)3121(2)211(2nn12)111(2nnn．【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求nn216314212112222，方法还是抓通项，即)211(21)2(1212nnnnnn，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：11nnan，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。【练17】（2005济南统考）求和121222nS＋141422＋161622＋…＋1)2(1)2(22nn．答案：715115131131111nS…1211211nn＝122nnn．【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项1a32，公差1d，求满足2)(2kkSS的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立.【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：（I）当1,231da时nnnnndnnnaSn21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2kkkkSSkk得，即0)141(3kk又4,0kk所以.（II）设数列{an}的公差为d，则在2)(2nnSS中分别取k=1,2,得211211224211)2122(2344,,)()(dadaaaSSSS即由（1）得.1011aa或当,60)2(,01dda或得代入时若21)(,0,0,0,0kknnSSSada从而则成立,若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331nnSSSnada,)(239Ss故所得数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则kknnSSnSada若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1nnnSSnnSnada.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{an}:an=0，即0，0，0，…；②{an}:an=1，即1，1，1，…；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，…，【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。【练18】（1）（2000全国）已知数列nc,其中23nnnc,且数列1nncpc为等比数列.求常数p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）（1）（2）