lt99422空间中的直线

lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.871222---222空空空間間間中中中的的的直直直線線線晚會上雷射光四射﹐這些光線或相交﹑或平行﹑或歪斜﹐構成美麗的光影﹒本節中﹐我們就來研究空間中的直線方程式及它們之間的關係﹒甲、直線方程式在空間中﹐當非零向量v與直線L平行時﹐我們稱v為直線L的一個方向向量﹐如圖2所示﹒方向向量具有一個重要的性質﹕直線L的方向向量並不是唯一的﹐但是這些方向向量都互相平行﹒接下來我們利用方向向量的性質﹐來推導通過點A000,,xyz且以v=,,abc為方向向量之直線L的方程式﹒設,,Pxyz是L上異於A的任意一點﹐如圖3所示﹐可得AP000,,xxyyzz﹒因為AP是直線L上的一個向量﹐所以AP與方向向量v平行﹐即000,,,,xxyyzztabc﹐t為實數﹐0t﹐而上式在0t時﹐P表A點亦成立﹐故000xxatyybtzzct（t為實數）﹒反之﹐滿足此式的點,,xyz都在直線L上﹒因此我們將▲圖1▲圖2vL▲圖3A(x0,y0,z0)P(x,y,z)v=(a,b,c)LxyzOlt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.872000xxatyybtzzct（t為實數）﹒稱為直線L的參數式﹐實數t稱為參數﹒直線的參數式：通過點A000,,xyz﹐且以非零向量v=,,abc為方向向量之直線L的參數式為000:xxatLyybtzzct（t為實數）﹒底下我們練習求直線參數式﹒【例題1】(1)求通過A(2，1，3)﹐且以v＝(1，1，2)為方向向量之直線的參數式﹒(2)求通過A(2，1，3)﹐B(4，1，1)兩點之直線的參數式﹒Ans：(1)2132xtytzt（t為實數），(2)221234xtytzt（t為實數）【詳解】(1)利用上面的結論可知﹕直線的參數式為2132xtytzt（t為實數）﹒(2)因為直線通過點2,1,3A﹐且向量2,2,4AB是它的一個方向向量﹐所以直線的參數式為221234xtytzt（t為實數）﹒lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.873直線參數式的表示法並不是唯一的﹒例如﹕例題1中的兩直線均通過點2,1,3A﹐而且方向向量1,1,2與2,2,4互相平行﹐因此這兩個參數式表示同一條直線﹒【隨堂練習1】設通過A(2，1，1)﹐B(4，3，3)兩點的直線為L﹒(1)求L的參數式﹒(2)已知點C(0，h，k)在L上﹐求h﹐k的值﹒Ans：(1)221412xtytzt（t為實數），(2)h＝5﹐k＝1【詳解】(1)因為直線通過點A(2，1，1)﹐且向量(2,4,2)AB是它的一個方向向量﹐所以直線的參數式為221412xtytzt（t為實數）﹒(2)因為點C(0，h，k)在L上﹐所以將(0，h，k)代入221412xtytzt﹐得0221412thtkt﹐解得t＝1﹐h＝5﹐k＝1﹒設直線L的參數式為000:xxatLyybtzzct（t為實數）﹒當a﹐b﹐c均不為0時﹐可得0xxta﹐0yytb﹐0zztc﹐即lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.874000xxyyzzabc﹐我們稱此表示法為直線L的對稱比例式﹒例如﹕通過點A1,4,0﹐且方向向量為v2,3,1之直線L的對稱比例式為14:231xyzL﹒直線的對稱比例式：通過點A000,,xyz﹐且方向向量為v=,,abc（其中0abc）之直線L的對稱比例式為000:xxyyzzLabc﹒底下我們練習求直線的對稱比例式及對稱比例式與參數式之間的轉換﹒【例題2】(1)求通過A(2，1，3)﹐B(3，2，1)兩點之直線的對稱比例式﹒(2)求直線141234xyz的參數式﹒Ans：(1)2113xy32z，(2)124314xtytzt（t為實數）【詳解】(1)因為直線通過點2,1,3A﹐且向量AB1,3,2是它的一個方向向量﹐所以直線的對稱比例式為213132xyz﹒(2)由對稱比例式141234xyz可知﹕直線通過點1,4,1﹐且2,3,4是它的一個方向向量﹐lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.875因此直線的參數式為124314xtytzt（t為實數）﹒【隨堂練習2-1】已知通過A(1，3，2)與B(3，1，0)兩點之直線的對稱比例式為002xxyyzab﹐求a，b﹐x0﹐y0的值﹒Ans：a＝2﹐b＝4﹐x0＝3﹐y0＝1【詳解】因為直線的方向向量(a，b，2)與(2,4,2)AB平行﹐所以2242ab﹐解得a＝2﹐b＝4﹒又因為A(1，3，2)為直線00242xxyyz上一點﹐代入得00132242xy﹐解得x0＝3﹐y0＝1﹒故a＝2﹐b＝4﹐x0＝3﹐y0＝1﹒【隨堂練習2-2】求直線12233xtytzt（t為實數）的對稱比例式﹒Ans：1223xy31z【詳解】由參數式12233xtytzt（t為實數）可得直線通過點(1，2，3)﹐且(2，3，1)是直線的一個方向向量﹒因此直線的對稱比例式可以表示為﹕1223xy31z﹒lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.876我們知道﹐空間中不平行的兩相異平面交於一直線﹒底下我們來練習求兩相交平面的交線參數式﹒【例題3】求兩平面3x＋2y＋z＝4和x＋2y＋3z＝4之交線L的參數式﹒Ans：L﹕442xtytzt（t為實數）【詳解】設點,,Pxyz在交線L上﹐即324234xyzxyz﹒令zt﹐整理得324243xytxyt﹐由消去y﹐得282xt﹐即4xt﹐再將此式代入﹐得4243tyt﹐解得42yt﹒因此P點的坐標為(4,42,)ttt﹐即交線L的參數式為4:42xtLytzt（t為實數）﹒【隨堂練習3】求兩平面x＋3y＋z＝7和2x＋y－3z＝4之交線L的參數式﹒Ans：L﹕122xtytzt（t為實數）【詳解】設點P(x,y,z)在交線L上﹐即37234xyzxyz﹒令z＝t﹐整理得37243xytxyt﹐lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.877由2消去x﹐得5y＝10－5t﹐即y＝2－t﹐再將此式代入﹐得x＋6－3t＝7－t﹐解得x＝1＋2t﹒因此P點的坐標為(1＋2t，2－t，t)﹐即交線L的參數式為L﹕122xtytzt（t為實數）﹒在例題3中求聯立方程式324234xyzxyz的解﹐就是找兩平面324xyz和234xyz的交線﹒因為當兩相異平面交於一直線時﹐聯立方程式的解就是直線的參數式﹐所以例題3的交線L也可以用聯立方程式324:234xyzLxyz來表示﹐我們稱它為直線L的二面式﹒因為二面式表示兩平面的交線﹐又交線的方向向量與兩個平面的法向量均垂直﹐所以當我們知道直線的二面式時﹐可以用外積求得它的方向向量﹒【例題4】求直線23:24xyzLxyz的一個方向向量﹒Ans：(3，1，5)【詳解】因為直線L的方向向量與二平面23xyz﹐24xyz的法向量11,2,1n﹐22,1,1n均垂直﹐所以123,1,5vnn即為直線L的一個方向向量﹒【隨堂練習4】已知直線33:20xyzLxyz的參數式為0122xtybtzzct（t為實數）﹐求b﹐c﹐z0的值﹒Ans：b＝1﹐c＝5﹐z0＝4【詳解】Lv=n1×n2n2n1lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.878因為L的方向向量為(2,,)vbc與兩平面x＋3y－z＝3﹐2x＋y－z＝0的法向量1(1,3,1)n﹐2(2,1,1)n均垂直﹐所以v與12nn平行﹒計算12(2,1,5)nn﹐由2215bc﹐可得b＝1﹐c＝5﹒又因為直線L通過點(1，2，z0)﹐所以點(1，2，z0)在平面x＋3y－z＝3上﹐代入得7－z0＝3﹐解得z0＝4﹒故b＝1﹐c＝5﹐z0＝4﹒lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.879乙、直線與平面的關係我們知道空間中直線L和平面E的相交情形有3種﹐如圖4所示﹕LELEPLE(a)L與E平行(b)L與E恰交於一點P(c)L落在E上▲圖4當我們給定L和E的方程式時﹐該如何判定它們之間的相交情形呢﹖底下看一個例子﹒【例題5】討論直線1:112xyzL與三個平面1:23Exyz﹐2:323Exyz﹐3:321Exyz的相交情形﹒Ans：(1)交於一點(3，2，4)，(2)L落在E2上，(3)L與E3平行【詳解】由題意可知﹕直線L的參數式為12xtytzt（t為實數）﹒(1)將直線L的參數式代入1:23Exyz﹐得13t﹐解得2t﹒故L與1E交於一點﹐且其交點為3,2,4﹒(2)將直線L的參數式代入2:323Exyz﹐得33﹐解得t為任意實數﹒故L上任一點均在2E上﹐即L落在2E上﹒(3)將直線L的參數式代入3:321Exyz﹐得31（不合）﹐即t沒有實數解﹐故L上任一點均不在平面3E上﹐故L與3E平行﹒lt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.8710【隨堂練習5】求直線21:212xyzL與平面:26Exyz的交點坐標﹒Ans：(0，2，2)【詳解】設L和E的交點為P﹒由L的對稱比例式可設P點的坐標為(2＋2t，1＋t，2t)﹐所以將P代入E﹕x＋2y－z＝6得6t＝6﹐解得t＝1﹒故L與E之交點P的坐標為(0，2，2)﹒我們知道包含一直線與線外一點的平面只有一個﹒底下練習求平面方程式﹒【例題6】求通過點A1,1,1且包含直線12:115xyzL之平面E的方程式﹒Ans：324xyz【詳解】由L的對稱比例式可知﹕L通過點0,1,2P﹐且1,1,5v是L的一個方向向量﹒因為v與1,0,3AP均在E上﹐如右圖所示﹐所以令nvAP﹐可得1,1,51,0,33,2,1n是E的一個法向量﹐因此可設E的方程式為32xyzd﹒又因為E通過點1,1,1A﹐將其代入方程式得312114d﹐故E的方程式為324xyz﹒ALEPnvlt99422空間中的直線高中數學虛擬教室114.34.204.8711【隨堂練習6】已知兩直線112:121xyzL與2211:131xyzL相交於一點﹐求包含1L與2L之平面E的方程式﹒Ans：5x－2y＋z＝7【詳解】因為兩直線L1﹐L2的方向向量1(1,2,1)v﹐2(1,3,1)v均在平面E上﹐所以12(5,2,1)nvv是E的一個法向量﹐因此可設E的方程式為5x－2y＋z＝d﹒又因為E通