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第二十四章圆时间：2015-11-7地点：数学教研组包组领导：吕志成主备：樊堃成员：夏维库赵勇焦文正黄蓉王娅莉第二十四章圆24.1圆的有关性质第一课时24.1.1圆教学目标【知识与能力】了解圆的有关概念．【过程与方法】从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴【情感态度与价值观】培养通过动手实践发现问题的能力．渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．教学重难点以点的集合定义圆所具备的两个条件．观察车轮，你发现了什么？观察观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？知识要点动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆（circle）．如何在操场上画一个半径是5m的圆？首先确定圆心，然后用5米长的绳子一端固定为圆心端，另一端系在一端尖木棒，木棒以5米长尖端划动一周，所形成的图形就是所画的圆·圆心、半径固定的端点O叫做圆心（centerofacircle）．线段OA叫做半径（radius），一般用r表示．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”同圆内，半径有无数条，长度都相等．确定一个圆的要素是什么？一是圆心，圆心确定其位置，二是半径，半径确定其大小.圆的特点（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）．（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆的新定义，静态定义圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．车轮为什么圆的，而不是椭圆或其他图形？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理弦、直径连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径圆弧（弧）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．（大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．）小练习请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧．课堂小结1．圆动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆静态定义圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2．圆心、半径固定的端点O叫做圆心．线段OA叫做半径，一般用r表示．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”3．圆的特点（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）．（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．4．弦、直径连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径．5．圆弧（弧）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧随堂练习1．填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是_______，而不是“圆面”．（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的_______，半径决定圆的_______，二者缺一不可．（3）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（4）图中有_______条直径，_______条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_______条，劣弧有_______条．2．判断下列说法的正误(1)弦是直径(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径(5)半圆是最长的弧(6)直径是最长的弦；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;(8)半径相等的两个圆是等圆教后反思：第二课时24.1.2垂直于弦的直径教学目标【知识与能力】理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题【过程与方法】通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解【情感态度与价值观】培养通过动手实践发现问题的能力．渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法教学重难点垂径定理及其运用思考圆是否是轴对称图形，有哪些对称轴任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．上图是轴对称图形吗？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．知识要点垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理三角形d+h=r在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量实际问题赵州桥主桥拱的半径是多少？你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．垂径定理的推论222)2(adr课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．垂径定理的推论略4．解决有关弦的问题经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．随堂练习1．判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．2．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．3．在直径是20cm的⊙O中，角AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是4．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为教后反思：第三课时24.1.3弧，弦，圆心角教学目标【知识与能力】理解弦、弧等概念．初步会运用这些概念判断真假命题．【过程与方法】逐步培养阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力．进一步提高观察、比较、分析、概括知识的能力【情感态度与价值观】培养通过动手实践发现问题的能力．渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．教学重难点对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧圆心角顶点在圆心的角弦心距圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．探究在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和O′A′重合．知识要点弧、弦、圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等弧、弦、圆心角关系定理的推论1.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．2在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．3在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等（在同圆或等圆中，有一组关系相等，那么所对应的其它各组关系均分别相等）课堂小结1．圆心角顶点在圆心的角2．弦心距圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．3．弧、弦、圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等随堂练习1．AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？教后反思：第四课时24.1.4圆周角教学目标【知识与能力】理解圆周角的概念．掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．【过程与方法】继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．【情感态度与价值观】渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．教学重难点圆周角的概念和圆周角定理．圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．圆中有多少个圆周角？下列圆中的是圆周角吗?知识要点圆周角定理①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？知识要点圆周角定理②：圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．例题：⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，所以它所对的弧也相等课堂小结1．圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角2．圆周角定理在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半3．圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．教后反思：24.2.1点与圆的位置关系教学目标：1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定．2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3.会画三角形的外接圆，熟识相关概念．4.经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想．5.通过本节课的教学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育．教学重难点：用数量关系判定点和圆的位置关系．教学过程：一．导入新课：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？二．讲授新课：探究：由位置判断距离：⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB__OC__OD=___．点E在圆内，点F在圆外，则OE__r，OF__r．由距离判断位置：⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则点A在圆____，点B在圆__，点C在圆___．知识要点：点和圆的位置关系点P在圆外dr点P在圆上d=r点P在圆内dr思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？（圆外的点，圆上的点，圆内的点）小练习：1．A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？请通过画图来说明．2．A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个位置？3．现在要求Ｂ与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那么B应站在哪儿？有几个位置？回顾：画圆的关键是什么？（确定圆心；确定半径的大小）探究：1．过一点可以作几个圆?2．过两点可以作几个圆？3．过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?知识要点：过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆．过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．外接圆、外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．思考：不在同一直线上的三个点确定一个圆．为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？证明：假设经过同一直线l的三个点能作出一个圆，圆心为O．则O应在AB的垂直平分线l1上，l1⊥l且O在BC的垂直平分线上l2上，l2⊥l所以l1、l2同时垂直于l，这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，所以经过同一直线的三点不能作圆．反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．例如：命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．假设：经过同一直线的三点能作出一个圆．矛盾：过一点有两条直线垂直于已知直线．定理：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线探究：分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？归纳：锐角三角形的外心位于三角形内．直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点．钝角三角形的外心位于三角形外．三．课堂小结：1.点和圆的位置关系；2.三点定圆；3.外接圆、内接三角形；4.外心；5.反证法；四．随堂练习：1．判断下列说法是否正确（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆。（）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形。（）（3）经过三点