九年级数学下_锐角三角函数_课件新人教版

§28.1锐角三角函数ABC┌如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，角：∠A+∠B＝90°边：AC2+BC2=AB2勾股定理在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长..21ABBC斜边的对边A可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。21ABC50m30mB'C'即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。22如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABBCABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？21当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；22当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.探究ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？ABBC''''BACB由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’,''''BAABCBBC.''C'B'ABBABC即这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即caAA斜边的对边sin例如，当∠A＝30°时，我们有2130sinsinA当∠A＝45°时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34例题示范ABC135(1)(2).54sin53sin5.34BCACABABCR12222ABACBABBCAt，因此中，），在解：如图（试着完成图（2）练习2254AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,则sin∠A=___.33ba1、如图，求sinA和sinB的值．5、如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积。54BAC55如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cbAA斜边的邻边cosABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tanrldmm8989889注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”rldmm8989889对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.rldmm8989889ABC6.34tan54cos,8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解：例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．53sinArldmm8989889例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．.25tan32cos35sin.55252tan35cos32sin,5232222BCACBABBCBABACBACBCAABACAABBCABCABACABCRt，，，，中，解：在ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。sin30°=21sin45°=22sin60°=?23ABC┌思考：锐角A的正弦值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。不同大小的两个锐角的正弦值可能相等吗？已知sinA＝23，那么锐角A等于_______。60°锐角A满足2sin（A－15°）＝1，那么∠A＝____.45°sinA=ABBCABC┌cosB=ABBC如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°sinA=cos(90°－A）=cosB=ABBC(1)(2)0＜sinA＜1，0＜cosB＜1sin2A+cosA2=1cos2A=()2ABAC(3)sin2A=()2ABBC判断：①sinA＋sinB=sin(A+B)()②cosA＋cosB=cos(A+B)()××rldmm898988930°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana12223222123323311.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.试一试：ABCD(1)sinA==AC()BC()(3)sinB==AB()CD()CDABBCAC(2)cosA==AC()AC()(4)cosB==AB()BD()ADABBCCD3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABC┌C试一试：定义中应该注意的几个问题:回味无穷1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2、sinA、cosA是一个比值（数值）。3、sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。rldmm8989889例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）45tan45sin45cos).60(sin)60(sin60sin60sin22即，）表示（22)23()21(解：原式112222解：原式0rldmm8989889；）（30cos30sin211；）（60sin245tan30tan32；）（30tan160sin160cos3求下列各式的值：.21160cos2145sin2402005）（）（）（rldmm8989889例2（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．3,6BCABABC36,2263sinABBCA解.45Arldmm8989889（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．ABO3,33tanOBOBOBAO解.60当A，B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.rldmm89898891、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度数．21,7ACBCBAC721rldmm89898892、求适合下列各式的锐角α3(1)3tan01sin2(2)1212cos(3)的值。求为锐角），（、已知tan032cos3rldmm8989889ABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度数及AD的长.38第82页；第3，4题作业独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。rldmm8989889按键顺序显示结果tan30°36′1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二：先转化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。rldmm8989889按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：