《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第3节 导数的应用

§3导数的应用一、单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf定理1.],[)(,0)(),()2(;],[)(,0)(),()1(.),(,],[)(上单调减少在那末函数内如果在上单调增加在那末函数内如果在内可导在上连续在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfyabBA证,),(,21baxx,21xx且应用L－定理,得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(,),(xfba内若在,0)(f则.)()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy,0)(,),(xfba内若在,0)(f则.)()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy证毕。例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y;函数单调减少,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性..),(:D又问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点.方法:.,)()(0)(符号然后判断区间内导数的的定义区间分函数不存在的点来划的根及用方程xfxfxf例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf.),(:D12186)(2xxxf,)2)(1(6xx,0)(得解方程xf.2,121xx,1时当x,0)(xf;]1,(上单调增加在,21时当x,0)(xf;]2,1[上单调减少在,2时当x,0)(xf;),2[上单调增加在单调区间为,]1,(,]2,1[.),2[例3解.)(32的单调区间确定函数xxf.),(:D)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x,0时当x,0)(xf;),0[上单调增加在,0时当x,0)(xf;]0,(上单调减少在单调区间为,]0,(.),0[32xy例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx,)1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(,),0(,),0[)(xfxf可导且上连续在;),0[上单调增加在,0)0(f又,0时当x,0)1ln(xx.)1ln(xx即单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍然成立.应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.小结:二、函数的极值oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,.),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点对于这邻域内的任何点的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点对于这邻域内的任何点的一个邻域如果存在着点的一个点内是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0xf.定理2(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(极值点函数的驻点却不一定是但点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x极值存在的必要条件和充分条件:(1)如果,),(00xxx有;0)(xf而),(00xxx,有0)(xf,则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果,),(00xxx有;0)(xf而),(00xxx,有0)(xf,则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)(xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理3(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x(不是极值点情形)例5解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf,0)(xf令.3,121xx得驻点列表讨论如下:,)3)(1(3xxx)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10Mmf(x)图形如右:m设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0xf,0)(0xf,那末(1)当0)(0xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理4(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0,)()(00异号与故xxfxxf,0时当x)()(00xfxxf有,0,0时当x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值.同理可证(2).证毕。例6解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf,0)(xf令.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf又)4(f且,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如上:例7解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf,)(,2不存在时当xfx,2时当x;0)(xf,2时当x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M三、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC•定义.)()()(,2)()()2(;)()()(,2)()()2(,,,)(2121212121或凸弧凸的向上上的图形是在那末称如果恒有或凹弧凹的向上上的图形是在那末称恒有上任意两点如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的凸或内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxfxyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理5.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在和二阶导数内具有一阶在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf下面讨论曲线凹凸性的判定方法:例8.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy,0时当x,0y;]0,(为凸的在曲线,0时当x,0y;),0[为凹的在曲线.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,3xy拐点的定义:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.例9.14334凸的区间、的拐点及凹求曲线xxy解),(:D,121223xxy.)32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32(.),32[,]32,0[,]0,(凹凸区间为例10.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,03均不存在处在点连续函数yyxxy,0,)0,(y内在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy四、函数图形的描绘1.铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x.)(.,,)(lim0000的一条铅直渐近线就是那么如果xfyxxxfxxxxxx先讨论渐近线的问题:2.水平渐近线)(轴的渐近线平行于x.)()()(lim的一条水平渐近线就是那么为常数其中如果xfybybbxfxxx利用函数特性描绘函数图形的步骤:第一步确定函数)(xfy的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数)(xf;第二步求出方程0)(xf和0)(xf在函数定义域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间;第三步确定在这些部分区间内)(xf和)(xf的符号,并由此确定函数;第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线,以及其他变化趋势;第五步描出与方程0)(xf和0)(xf的根对应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.第五步描出与方程0)(xf和0)(xf的根对应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.例11.1)(23的图形作函数xxxxf解,),(:D无奇偶性及周期性.,)1)(13()(xxxf.)13(2)(xxf,0)(xf令.1,31xx得驻点,0)(xf令.31x得特殊点:补充点,)0,1(A,)1,0(B.)85,23(C列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311拐点极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf极小值0xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C113131123xxxy例12.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解,0:xD非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(:补充点;)0,31(,)0,31(,)2,1(A,)6,1(B.)1,2(C作图xyo232111236ABC2)1(4)(2xxxf