《高等数学B》第十章 微分方程与差分方程 第8节 二阶常系数线性差分方程

第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为)(12xfybyayxxx(1)其中a,b为常数,且b0,f(x)为x的已知函数.当f(x)0时,称方程012xxxybyay为二阶常系数齐次线性差分方程.下面介绍它们的求解方法.若f(x)0,则称方程(1)为二阶常系数非齐次线性差分方程.对于二阶常系数齐次线性差分方程)0(012bybyayxxx(2)根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，即得通解.显然,原方程(2)可以改写成)0(0)1()2(2bybayayxxx(3)由此我们可以看出,可用指数函数来尝试求,看是否可以找到适当的常数,使满足方程(2).xyxyxxy令,代人方程(2),得一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解0)(2bax0x又因,即得02ba(4)称它为齐次方程的特征方程,特征方程的根简称为特征根,由此可见,为齐次方程(2)的特解的充要条件为是特征方程(4)的根.xxy和二阶常系数齐次线性微分方程一样,根据特征根的三种不同情况,可分别确定出齐次方程(2)的通解.1.若特征方程(4)有两个不相等的实根与,此时与;是齐次方程(2)的两个特解,且线性无关.于是齐次差分方程(2)的通解为12x1x2xxxCCy221121,CC(为任意常数)2.若特征方程(4)有两个相等的实根此时得齐次差分方程(2)的一个特解,21.)1(xxy为求出另一个与线性无关的特解,不妨令(不为常数),将它代人齐次差分方程(2)得)1(xy,)2(xxxuyxu01122xxxxxxubuau由于,故0x0122xxxubuau将之改写为0)()2(22xxxxxxubuuauuu即0)()2(222xxxubauau由于是特征方程(4)的二重根,因此且,于是得出02ba02a02xu显然是可选取的函数中的最简单的一个,于是可得差分方程(2)的另一个解为xux从而差分方程(2)的通解为xxxy)2(xxxCCy)(2121,CC(为任意常数)3.若特征方程(4)有一对共轭复根ii21,这时,可以验证差分方程(2)有两个线性无关的解:xryxryxxxxsin,cos)2()1(其中,从而差分方程(2)的通解为)0,0(tan,22r)sincos(21xCxCryxx21,CC(为任意常数)从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程的步骤完全类似，我们将它总结如下:第一步写出差分方程(2)的特征方程)0(02bba(4)第二步求特征方程(4)的二个根.,21第三步根据特征方程(4)的两个根的不同情形，写出差分方程(2)的通解.441P(可见教材的表)例1求差分方程的通解.0612xxxyyy解特征方程062有两个不相等的实根从而原方程的通解为,2,321.)2(321xxxCCy21,CC(为任意常数)例2求差分方程的通解.04312xxxxyyyy解原方程可改写成如下形式0442它有两个相等的实根所以原方程的通解为,221.2)(21xxxCCy21,CC(为任意常数)04412xxxyyy其特征方程为例3求差分方程的满足初始条件的特解.016412xxxyyy322,110yy解特征方程为先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，01642特征方程的根为于是,32,2,3222,1i,422r.33tan故原方程的通解为.)3sin3cos(421xCxCyxx21,CC(为任意常数)由初始条件得322,110yy.1,121CC故所求特解为.)3sin3(cos4xxyxx二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对于二阶常系数非齐次线性差分方程)(12xfybyayxxx(1))0,,(bba且为常数根据通解的结构定理,求差分方程(1)的通解,归结为求对应的齐次方程012xxxybyay的通解和非齐次方程(1)本身的一个特解.由于二阶常系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决,所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解的方法.*xy在实际经济应用中,方程(1)的右端f(x)的常见类型是)()(xPxfn)()(xPxfnx(为常数,0且1)两种类型.)(xPn(表示n次多项式)及下面我们介绍用待定系数法求f(x)为上述两种情形时的求法.*xy))(()()(.1次多项式为nxPxPxfnn此时,方程(1)为)0()(12bxPybyaynxxx可改写为)()1()2(2xPybayaynxxx设是它的解,代人上式,即得*xy)()1()2(***2xPybayaynxxx)(xPn由于是一个已知的多项式,因此应该也是一个*xy多项式.由于齐次方程(2)的特征方程为02ba因此(1)若1不是特征方程的根,即1+a+b0,那么说明应是一个n次多项式,于是令*xy)0()(01110*bbxbxbxbxQynnnnnx把它代入方程,比较两边同次幂的系数,便可求出),,2,1,0(nibi.*xy从而求得*xy(2)若1是特征方程的单根,即1+a+b0,且2+a0,那么是一个n次多项式,即说明应是一个n+1次多项式,于是令*xy)()(1110*nnnnnxbxbxbxbxxQxy将之代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定出),,2,1,0(nibi.*xy从而求得*xy*xy(3)如果1是特征方程的二重根,即有1+a+b=0,且2+a=0,那么应是一个n次多项式,即说明应是一个n+2次多项式,于是令)()(111022*nnnnnxbxbxbxbxxQxy把它代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定),,2,1,0(nibi.*xy从而可求得综上所述,可得如下结论:)(*xQxynkx如果,则二阶常系数非齐次线性差分方)()(xPxfn程(1)具有形如的特解,其中是与同次(n次)的待定多项式,)(xQn)(xPn而k的取值如下确定:(1)若1不是特征方程的根,是k=0;(2)若1是特征方程的单根,是k=1;(3)若1是特征方程的二重根,是k=2.例4求差分方程的通解.xyyyxxx4512解(1)先求对应的齐次方程04512xxxyyy.xy的通解特征方程为,0452特征方程的根为于是,4,121.)4()1(21xxxCCY(2)再求原方程的一个特解.*xy由于1不是特征方程的根,于是令,10*bxbyxxbxbbxbbxb)(4])1([5)2(101010代人原方程得解得于是.1007,10110bb.1007101*xyx(3)原方程的通解为.1007101)4()1(21*xCCyYyxxxxx21,CC(为任意常数),2*xayx例6求差分方程的一个特解.8212xxxyyy解所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为0122由于1是特征方程的二重根,于是令特解为代人原方程得,8)1(2)2(222xaxaxa解出a=4.于是.42*xyx)()(.2xPxfnx(为常数且0,1)此时,方程(1)成为)0()(12bxPybyaynxxxx引入变换,令则原方程化为,xxxzy)(1122xPzbzaznxxxxxxx即)(122xPzbzaznxxx这是右端为一个n次多项式的情况.按前面所讨论的方法,即可求出从而*xz.**xxxzy例6求差分方程的通解.)12(3612xyyyxxxx解(1)先求对应的齐次方程0612xxxyyy的通解其特征方程为特征方程的根.xY,062为故.3,221;)2(321xxxCCY(2)再求原方程的一个特解由于故令代人原方程得,*xy,)12(3)(xxfx,3xxxzy,1263912xzzzxxx.*xz下面先求这个方程的一个特解由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为06392其根为因为1是特征方程的单根,于.32,121是令,)(12010*xbxbbxbxzx将它代人方程并比较同次幂1263912xzzzxxx的系数,得于是.252,15110bb,2521512*xxzx因此.25215132*xxyxx(3)原方程的通解为.2521513)2(3221xxCCyxxxx21,CC(为任意常数)