《高等数学微积分》

高等数学(一)微积分一元函数微分学(第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：串讲内容第一部分函数极限与连续第二部分导数微分及其应用第三部分积分计算及应用一元和多元第一部分函数极限与连续1.一元函数的概念定义域值域函数为特殊的映射:其中2.二元函数的概念定义域值域函数为特殊的映射:其中一、函数二、极限三、连续一、函数概念回顾3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射DDff)(:15.复合函数给定函数链则复合函数为])([:DgfDgf6.初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函数。例1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（）(1)221yx；(2)32sinyxx；(3)1yx．知识点：函数的奇偶性若对于任何x，恒有()()fxfx成立，则称()fx是奇函数。若对于任何x，恒有()()fxfx成立，则称()fx是偶函数．奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称．解：(1)22()2()121()fxxxfx，故221yx为偶函数．(2)33()()2sin()2sin()fxxxxxfx，故32sinyxx为奇函数，图形关于原点对称。(3)()1fxx，它既不等于()fx，也不等于()fx，故1yx是非奇非偶函数．例2．下列各函数中，互为反函数的是（）（1）．tan,cotyxyx（2）．121,(-1)2yxyx知识点：反函数求反函数的步骤是：先从函数()yfx中解出1()xfy，再置换x与y，就得反函数1()yfx。例3.设函数1()1xfxx，求(2)fx知识点：复合函数解：令11,txxt，因为111111xtxtt故：1()1ftt即1()1fxx，1(2)12fxx例4：求下列函数的定义域。（1）1ln();zxyx（2）2sin()ln(2)2xfxxxx知识点：定义域多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意义的点的集合。解：（1）由函数的表达式可知：0x且0xy．故函数的定义域为：{(,)|00}xyxxy且（2）要使函数有意义必须满足22020xxx，即122xxx或，故(2,1)(2,)D．二、极限（1．概念回顾2、极限的求法，）1．概念回顾1）数列极限lim,nnaA函数极限lim()xfxA．2）函数极限与单侧极限之间的关系00000lim()li()lim().m()()xxxxxxfxAfxffxxAfAx3）特殊极限：无穷大和无穷小若当lim0u，则称变量u为无穷小量(或无穷小)．lim,lim,limuuu，则称变量u为无穷大量(或无穷大)4）极限与无穷小得关系定理uAuA，其中是该极限过程中的无穷小2、极限的求法利用极限四则运算、连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例5：求25lim9xxx．解：222155limlim991xxxxxxx2215lim()0091lim(1)xxxxx．知识点：设000,0,,abmnN，则1010lim0mnabmmnxnmnaxaxamnbxbxbmn例6.（1）n1n+1254lim53nnn（2）、coslimsinxxxxx（05年10月）解：（1）1n12n+121114()54555limlim35313()5nnnnnn121114lim()15553513lim()5nnnn（2）cos1coslimlim1sinsin1xxxxxxxxxx例7.（1）lim(3)nnnnn（06年）（2）lim(3)1.nnnn（05年）解：（1）(3)(3)lim(3)lim3nnnnnnnnnnnnnnnnnn44limlim23131nnnnnnnnnnn（2）(3)(3)lim(3)1lim13nnnnnnnnnnnn131313limlim23311nnnnnnn例8.（1）1lim()xxxex（06年1月)（2）0lim12xxx知识点：重要极限1lim(1)nnen，01lim(1)ttet，lim(11)xxxe1()()0,lim(1())uxxuxuxe适用特点1解：（1）111lim()lim(1)lim(1)xxexxxxexxxxxxxexeeee10lim(1)xxeexxxxeeeee（2）100lim12lim(12)xxxxxx0(2)122lim(1)xxx0(2)122lim[(1)]xxx(2)0221[lim(1)]2xxex例9.2000tansin1cos(1)lim(2)lim(3)lim(4)lim(sin)xxxnxkxxnxxxn知识点：重要极限0sinlim1xxx()0sin()lim1()uxuxux0sinlim1nnanaa解：0000tansin1sin1(1)limlimlim111coslimcosxxxxxxxxxxxx(2)00,ukxxu令，等价于000sinsinlimlimlim1sinxxukxkxkkkkxkxuu20220(3)liml2sin1c2imosxxxxxx202sin2lim2()2xxx20sin2211lim22xxx(4)sinlim(sin)limnnnnnnlim(sin)nnn注意：等价无穷小0x时，~sin,~tan,~arcsinxxxxxx，21cos~2xx0na时，sin~nnaa()0ux时，sin()~()uxux例10.（1）0(1)limcos1xxxex（06年1月）（2）2x01sin3lim(1cos2)ln(1)xexxx（3）lim[ln(2)ln]xxxx（05年.10月）知识点：用等价无穷小代换求极限设,',,'都是无穷小，如果~',~'，则'limlim'．解：（1）因为211~,cos1~2xexxx所以002(1)limlim21cos12xxxxexxxx（2）因为221~xex，sin3~3xx，22121cos2~(2)2xxx，ln(1)~xx所以2x01sin3lim(1cos2)ln(1)xexxx22x0(3)3lim(2)2xxxx（3）22lim[ln(2)ln]limln(1)lim2xxxxxxxxxx注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小1.sin~,xx导出()0ux时，sin()~()uxux2.tan~,xx导出()0ux时，tan()~()uxux3.arcsin~xx，导出()0ux时，arcsin()~()uxux4.1~xex，导出()0ux时，()1~()uxeux5.ln(1)~xx，导出()0ux时，ln1()~()uxux6.21cos~2xx，导出()0ux时，2()1cos()~2uxux例11.(1)01cos3lim.1cos4xxx（05年7月）(2)22lnsinlim.2xxx　（）(05年10月)知识点：洛必达法则若分式极限()()limfxgx是00或型的未定式，则当()()limfxgx’‘存在时，()()limfxgx＝()()limfxgx’‘．解：(1)0001cos33sin3339limlimlim.1cos44sin44416xxxxxxxxx(2)22221coslnsin1cossinlimlimlim224sin2xxxxxxxxxxx　　　（）-22（）-（）2221cos1sin1limlimlim4sin2428xxxxxxx　　-（）-注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式、00。其它类型的未定式，0，000,,1可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则。例12.(1)0limln(0)axxxa；(2)11lim1lnxxxx解(1)000010limlnlimli1mli1m(n)l0aaaxaxxxxxxxxaxxa．(2)11101ln11ln1limlimlim011ln(1)lnlnxxxxxxxxxxxxxxx211ln1limlim121ln111xxxxxxxx．例1322lim2xxx（05年.4月）知识点：分子与分母的极限均为0时，通过约去公因式或者分子分母有理化等方法消掉零元素。解：222limlim2222xxxxx．例14用级数的敛散定义判定级数111nnn敛散性。知识点：123nnSuuuu若limnnSS（常数），就说数项级数1nnu收敛，若limnnS=∞或limnnS不存在，就说数项级数1nnu发散。解：11111(1)(1)nnnkkkkskkkkkk1(1)nkkk(21)(32)(1)nn11n该级数发散。例15求级数1025nn的和S知识点：等比级数（几何级数）1211nnnaqaaqaqaq当1q时,等比级数收敛;且12111nnnaqaaqaqaaqq当1q时，等比级数发散．解：因为123102222255555nnn所以10222525315nn注意：收敛的必要条件：若0nnu收敛，则lim0nnu级数例16求极限2220100coslimxxxtdtx.知识点：变上限函数如果()fx在区间[,]ab上连续，则()()()xaxxftdtfx解此极限为00型，用洛必达法则求解，故2224010900cos22coslimlim10xxxxtdtxxxxx8808041limlim.551011cos2xxxxxx例17、求21()1xyfxx的水平和竖直渐进线。知识点：如果lim()lim()lim()xxxfxbfxbfxb或或，，则直线yb为曲线()yfx的水平渐近线．如果lim()lim()lim()xaxaxafxfxfx或或，则直线xa为曲线()yfx的竖直渐近线．解：因为201lim1xxx，x=0为无穷间断点，故