一_偏导数的定义及其计算法

定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法第二节偏导数和全微分同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．[解]例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.[证]例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.[解]例例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf３、偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，4、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.几何意义:),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.[解]例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.[解]定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu[解]若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？课堂思考题思考题解答不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,),(),(yxfyxxfxyxfx),(),(),(yxfyyxfyyxfy),(二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分的定义如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，记为z，即z=),(),(yxfyyxxf全增量的概念如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中BA,不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=yBxA.全微分的定义函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.如果函数),(yxfz在点),(yx可微分,则函数在该点连续.事实上),(oyBxAz,0lim0z),(lim00yyxxfyx]),([lim0zyxf),(yxf故函数),(yxfz在点),(yx处连续.四、可微的条件定理1（必要条件）如果函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为yyzxxzdz．证如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分,),(yyxxPP的某个邻域)(oyBxAz总成立,当0y时，上式仍成立，此时||x,),(),(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0,xz同理可得.yzB一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处有(0,0)(0,0)0xyff])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着0而趋于0,0当时，),(])0,0()0,0([oyfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理２（充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分．证),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf)],,(),([yxfyyxf),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx1),(（依偏导数的连续性）且当0,0yx时，01.其中1为yx,的函数,xxyxfx1),(yyyxfy2),(z2121yx,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy当0y时，02,习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例6计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedz所求全微分例7求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82例8计算函数yzeyxu2sin的全微分.解,1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz*例9试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨论.证多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导证令,cosx,siny则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx1sincossinlim200),0,0(f故函数在点)0,0(连续,)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xx同理.0)0,0(yf当)0,0(),(yx时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy当点),(yxP沿直线xy趋于)0,0(时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,||21cos||22||21sinlim330xxxxxx不存在.所以),(yxfx在)0,0(不连续.同理可证),(yxfy在)0,0(不连续.)0,0(),(fyxff22)()(1sinyxyx))()((22yxo故),(yxf在点)0,0(可微.0)0,0(df证),()(tttu则);()(tttv五、复合函数的为分法：链式法则定理如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．，获得增量设tt由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数,21vuvvzuuzz当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0v,dtdutu,dtdvtv.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz例设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttet上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：)].,(),,([yxyxfz如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vuf