【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.2.1 第1课时 等差数列课件 新人教B版必修5

教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课堂互动探究课后知能检测教师备课资源2．2等差数列2．2.1等差数列第1课时等差数列●三维目标1．知识与技能掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题．2．过程与方法培养学生观察、分析、归纳、推理的能力．通过强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，培养学生主动探索的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯．●重点难点教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用．教学难点：对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式的推导．课标解读1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法．(重点)等差数列的概念【问题导思】观察下面几组数列：(1)0,5,10,15,20,25，…(2)9,6,3,0，－3，－6，…(3)2,2,2,2,2,2，…每个数列从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点？【提示】从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数．(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，通常用字母表示．(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*).2前一项同一个常数常数公差d等差中项【问题导思】如果三个数a，A，b成等差数列，那么它们之间有怎样的数量关系？【提示】因为A－a＝b－A，所以a＋b＝2A.如果三个数x、A、y组成等差数列，那么叫做x和y的等差中项．如果A是x和y的等差中项，则A＝.Ax＋y2等差数列的通项公式【问题导思】若等差数列{an}的首项为a1，公差是d.1．试用a1，d表示a2，a3，a4.【提示】a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.2．你能猜想等差数列的通项公式an吗？【提示】an＝a1＋(n－1)d.1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式＝d(n≥2)an＝.an－an－1a1＋(n－1)d2.等差数列与函数关系(1)如果数列{an}是等差数列，则an＝an＋b(a、b是常数)；反之，如果数列{an}的通项公式是an＝an＋b(a、b是常数)，则{an}是数列．(2)从图象上看，表示等差数列的各点均在上．当a≠0时，各点均在一次函数的图象上；当a＝0时，各点均在函数的图象上.等差一条直线y＝ax＋by＝b等差数列的判定与证明已知数列的通项公式为an＝6n－1，问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？【思路探究】由等差数列的定义，只需判断an＋1－an是否为常数．【自主解答】∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6，∴{an}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.判断数列是等差数列的方法有：(1)利用定义：an＋1－an＝d(d为常数)，n∈N＋.(2)利用等差中项的定义：2an＋1＝an＋an＋2，n∈N＋.(3)利用通项公式：an＝kn＋b(其中k，b为常数，n∈N＋)．已知等差数列{an}的公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，则{bn}是否为等差数列？并说明理由．【解】{bn}是等差数列．理由：∵{an}是公差为d的等差数列，∴an＋1－an＝d(n∈N＋)，∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d，∴{bn}是等差数列.等差数列的通项公式及其应用等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.(1)求a20；(2)85是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第几项？【思路探究】(1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式能否列出关于a1，d的方程组并解得a1，d的值？(2)能否写出{an}的通项公式？(3)怎样判断一个数是不是某数列中的项？【自主解答】(1)由an＝a1＋(n－1)d得，a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，解得a1＝－2，d＝3.∴a20＝－2＋19×3＝55.(2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，令3n－5＝85，∴n＝30.∴85是该数列的第30项．1．在等差数列中，若已知am＝a，an＝b，一般列出关于a1，d的方程组a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1，d，从而确定该数列的通项公式．2．通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量a1，d，n，an，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．(1)若{an}为等差数列，a8＝36，a12＝56，求a80；(2)若{an}为等差数列，a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.【解】(1)设an＝a1＋(n－1)d.由a8＝36，a12＝56得，a1＋7d＝36，a1＋11d＝56，解得a1＝1，d＝5.∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4，∴a80＝5×80－4＝396.(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14，∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20，∴n＝18.等差中项的应用已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．【思路探究】(1)a2＋a3＋a4＝18你想到什么？(2)如何构建a1，d的方程组呢？【自主解答】在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.a2＋a4＝12a2·a4＝11，解得a2＝11a4＝1或a2＝1，a4＝11.当a2＝11a4＝1时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1a4＝11时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.1．在等差数列中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)则an是an－1与an＋1的等差中项．2．在通项公式中，首项a1和公差d是最基本的两个量，确定了它们就确定了通项公式也就确定了这个数列的每一项，这种建立方程求a1和d的方法在本节中应用十分广泛，应注意掌握．1．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.12【解析】a＝13＋2＝3－2，b＝13－2＝3＋2，所以a，b的等差中项为3－2＋3＋22＝3.【答案】A2．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【解】法一设这三个数为a，b，c，则由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝18，a2＋b2＋c2＝116，解得a＝4，b＝6，c＝8.法二设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得a－d＋a＋a＋d＝18，a－d2＋a2＋a＋d2＝116，①②由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.函数的思想方法在等差数列中的应用(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2－2－1所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．图2－2－1请您根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由．【思路点拨】首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列，进行求解，得出结论．【规范解答】由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.2分(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1d1＝0.2⇒a2＝1.2；4分由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30d2＝－4⇒b2＝26.所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.6分(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．…8分(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．∵对称轴为n＝94，所以当n＝2时，cn最大.10分答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大.12分本题利用等差数列模型求解，体现了等差数列的函数特性．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数据依次呈直线上升或下降，则可考虑用等差数列来解决．一定要分清首项、项数等关键问题．1．理解等差数列的定义应注意(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的含义．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求．(3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题：(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量；(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项；(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断{an}是等差数列．1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列是()A．公差为2的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列【解析】由{an}的通项公式an＝2n＋5得，首项a1＝7，公差d＝2.【答案】A2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－6【解析】an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.【答案】C3．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是________．【解析】lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是0.【答案】04．已知等差数列1,8,15，…，那么134是不是该数列的项？若是，是第几项？【解】因为a1＝1，公差d＝8－1＝7，所以an＝1＋(n－1)×7＝7n－6.令7n－6＝134，得n＝20，故134是这个数列的第20项.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们有多少个共同的项？【思路探究】先写出两数列的通项公式，再利用两通项公式寻找共同的项．【自主解答】法一设两个数列分别为{an}与{bk}．则a1＝5，d1＝8－5＝3，通项公式an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2；b1＝3，d2＝7－3＝4，通项公式bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.设数列{an}的第n项与{bk}的第k项相同，则an＝bk，即3n＋2＝4k－1，∴n＝43k－1.而n∈N*，k∈N*，∴k必须为3的倍数．设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1，由条件知1≤3r≤100，1≤4r－1≤100，解得12≤r≤1014.又∵r∈N*，∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．法二由法一知两数列的通项公式分别为an＝3n＋2，bk＝4k－1.设共同项构成新数列{cn}，则c1＝11.由于数列{an}，{bk}为等差数列，∴数列{cn}仍为等差数列，且公差为{an}，{bk}公差的最小公倍数，即d＝12.∴cn＝11＋(n－