第四章Matlab在高等数学中的应用

Matlab在高等数学中的应用教学内容数据统计与分析；数据插值曲线拟合多项式计算数值微积分数据统计与分析求矩阵最大、最小元素求矩阵平均值与中值矩阵元素求和与求积矩阵元素累加和与累加积标准方差相关系数元素排列求向量的最大最小元素y=max(X)/y=min(X):返回向量X的最大（最小）元素，存入y。如果X中包含复数元素，则按模取最大（最小）元素。[y,k]=max(X)/[y,k]=min(X):返回向量X的最大（最小）元素，存入y，最大（最小）元素的序号存入k。例题;1;45);min(],[;64);max(];47,32,12,64,45[kyxkyyxyx求矩阵的最大最小元素max(A):返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A第i列上的最大元素(返回矩阵A每一列上的最大元素)。[Y,U]=max(A):返回两个行向量，Y记录A的每列的最大元素，U记录每列最大元素的序号。max(A,[],dim):dim取1或2,dim取1时，与max(A)完全相同，dim取2时，返回一个列向量，第i个元素是矩阵A第i行上的最大元素(返回矩阵A每一行的最大元素)。％求矩阵中最大元素值62)),max(max(482045),2[],,max(]113[],624528[),max(],[]624528[),max(,483228172056624523aAaZAZUYAUYXAXA两个矩阵或向量对应元素比较U=max(A,B):A,B是两个同型的向量或矩阵，返回值U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素是A,B对应元素较大者。U=max(A,n):n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。47303030),30,max(47102152),,max(17102152,47316423UAUUBAUBA求矩阵的平均值和中值平均值：向量或矩阵的算术平均值；中值：数据序列中，其值大小恰好处在中间的元素。对偶数序列，中值等于中间的两项平均值。求矩阵与向量的平均值与中值median(X):返回向量X的中值；mean(X):返回向量X的平均值；median(A):返回一个行向量，其中第i个元素是A的第i列的中值(按列计算中值)；mean(A):返回一个行向量，第i个元素是A第i列的算术平均值(按列计算算术平均值)；mean(A,dim):当dim=2时，按行计算算术平均值；median(A,dim):当dim=2时，按行计算中值。75.42195.18)2,(;333.1713176667.59)(,3474582413114521423845AmeanAmeanA矩阵元素求和与求积sum(X):返回向量X各元素的和；prod(X):返回向量X各元素的乘积；sum(A):返回一个行向量，第i个元素是A第i列的元素和(按列求和)；prod(A):返回一个行向量，第i个元素是A第i列元素的乘积(按列求积)；sum(A,dim):dim=2时，矩阵按行求和；prod(A,dim):dim=2时，矩阵按行求积。矩阵的累加和与累加乘积U=[a1,a2,a3,…,an];V=[a1,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+a3+…+an];W=[a1,a1*a2,a1*a2*a3,…,a1*a2*a3*…*an];此时，称V为向量U的累加和向量，W为U的累加积向量。24621],10631[,4321WVU矩阵元素的累加和与累加积cumsum(X):返回向量X累加和向量；cumprod(X):返回向量X累加积向量；cumsum(A):返回一个矩阵，第i列是A第i列的累加和向量(按列累加)；cumprod(A):返回一个矩阵，第i列是A第i列的累加积向量(按列累加)；cumsum(A,dim):dim=2时，按行累加；cumprod(A,dim):dim=2时，按行累乘。标准方差•标准方差的物理意义：一组数据与其平均值的偏离程度，标准方差越大，说明这组数据距离其平均值越分散。2574.18)(;8257.1)(0)()(20102010,1221BstdAstdBmeanAmeanBA标准方差的计算公式)(1)(12)(11111212平均值其中，，NiiNiiNiixNxxxNSxxNS标准方差std(X):返回向量X的标准方差；std(A,flag,dim):dim=1:求各列元素的标准方差；dim=2:求各行元素的标准方差；flag=0:按S1计算标准方差（默认）；flag=1:按S2计算标准方差。相关系数相关系数的物理意义：两个数据序列分布的相似程度。-6-4-20246-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Correlationcoefficients0.8657y1=sinxy2=sin(x+pi/6)-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.5Correlationcoefficients0.9897相关系数的计算corrcoef(X):返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵，矩阵大小与X一样，它把矩阵X的每一列作为一个变量，求它们的相关系数。19962.09273.09962.019563.09273.09563.01)(,917293216247521XcorrcoefX第一列与第一列第一列与第二列第一列与第三列第二列与第三列元素排列[Y,I]=sort(X):对向量X按升序排列，排列好的升序向量存放在向量Y中，I记录Y中元素在X中的位置。[Y,I]=sort(A,dim):dim=1:对矩阵A各列进行升序排列；dim=2:对矩阵A各行进行升序排列；排列好的矩阵是Y,I中记录Y中元素在A中的位置。333111222,917294752132162);1,(],[,917293216247521IYAsortIYX例题利用matlab提供的randn函数生成符合正态分布的10*5随机矩阵A，进行如下操作：A各列元素的均值和标准方差；A的最大元素与最小元素；求A每行元素的和以及全部元素之和；分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排列。数据插值数据插值的物理意义已知在自变量的一段取值区间内，自变量与因变量的函数关系式y=f(x)为未知，只知自变量与因变量的n个测量数据对(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn),数据插值的任务就是构造一个函数y=g(x),使得对于xi,有yi=g(xi),且在两个相邻数据点之间，g(x)光滑过渡。我们就可以求得在取值范围内，测量点之外的其它数据对。插值函数一般由线性函数、多项式、样条函数或这些函数的分段函数充当。一维数据插值Y1=interp1(X,Y,X1,method):函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量(测量数据对)，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。Method是插值方法，允许的取值为：‘linear’:线性插值；‘nearest’:最近点插值；‘cubic’:三次多项式插值；‘spline’:三次样条插值。一维数据插值例题•给出概率积分的数据如下表，用不同的插值方法计算f(0.472).xxdxexf022)(x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683求解•x=0.46:0.01:0.49;•f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];•formatlong•Y1=Interp1(x,f,0.472);%线性插值•Y2=Interp1(x,f,0.472,’nearest’);%最近点插值•Y3=Interp1(x,f,0.472,’spline’);%3次样条插值•Y3=Interp1(x,f,0.472,’cubic’);%3次多项式插值。结果•Y1=0.49555332000000;•Y2=0.49375420000000;•Y3=0.49556073600000;•Y4=0.49556111971206;•f(0.472)=0.49555280937512二维数据插值Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method):X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，表述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。Method是不同的插值方法。二维插值例题某实验对一根长10m的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点距离(m),用h表示测量时间(s),用T表示测得各点的温度，测量结果如下表，用三次多项式插值求出在一分钟间隔内每隔10s，钢轨每隔0.5m处的温度。02.557.51009514000308848321266067645448410246810020406002040608010002468100204060-20020406080100曲线拟合曲线拟合的定义与原则•曲线拟合：依据一个区间或区域之内有限个采样点的函数值，用一个较简单的函数（多项式）去逼近一个复杂的或未知的函数。•曲线拟合的原则是最小二乘原则，即所构造的多项式在各测量点处的偏差的平方和达到最小。niiiyxp12)))((min(曲线拟合的实现[P,S]=polyfit(X,Y,m):函数根据采样点X和采样点函数值Y,产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S.其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。1121...)(mmmmaxaxaxaxp例题•用一个三次多项式在[0,2*pi]内逼近函数sin(x).01234567-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81sin(x)p(x)练习•用三次多项式方法插值计算1-100之间整数的平方根。•已知一组实验数据，求它的拟合曲线i12345xi165123150123141yi187126172125148N149162536496481100Sqrt(N)12345678910010203040506070809010012345678910010203040506070809010012345678910多项式计算多项式计算多项式的四则运算（加、减、乘、除）；多项式的导函数；多项式求值；多项式求根。多项式的加减运算加减运算：对应的系数向量的加减运算。次数相同的两个多项式，可直接对系数向量进行加减运算，次数不同的，应用0补足所缺次项，然后进行加减运算。];2,11,2,1[];1,6,0,0[],3,5,2,1[)16()352(23bacbaxxxx多项式的乘除运算conv(p1,p2):求多项式p1,p2的乘积，p1,p2是两个多项式的系数向量；[Q,r]=deconv(p1,p2):对p1,p2做除法运算，Q返回结果的商式，r返回余式。多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P的导函数；p=polyder(P,Q):求P*Q的导函数；[p,q]=polyder(P,Q):求P/Q的导函数，导函数的分子存入p,分母存入q.求有理分式的导数：100765105853)()()(236910245xxxxxxxxxx