第二讲：最优化模型

Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院爱因斯坦的一句名言：想象力比知识更重要！因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，是知识的源泉。要点Schoolofmathematics&physics最优优化模型Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院最优化模型概述最大值或最小值数学规划：线性规划（整数规划、0-1规划、目标规划等），非线性规划动态规划Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院一、简单优化问题案例1：产销平衡下的某种产品的最优价格,即使工厂利润最大的价格。（1）售量为x，并与产量相等；（2）每件产品售价为p。在竞争市场的环境中售量x依赖于价格p,即（3）每件产品成本为q，产量x与成本q无关。)(pfx，f称为需求函数；1、模型假设Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院一、简单优化问题2、模型建立总收入：I(p)=px总支出：C(p)=qx利润：U=I(p)-C(p)=(p-q)x=(p-q)f(p)数学模型为：U(p)maxSchoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院3、模型求解及其结果分析需求函数是售价的减函数，通常是根据实际销售情况定出。现在，假设它是线性函数，即0,,)(babpapfx一、简单优化问题其中，a--代表这种产品免费供应（p=0）时的社会需求量，也称为绝对需求量；dpdxb表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度。它反映市场需求对价格的敏感程度。Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院一、简单优化问题利润U(p)达到最大值的最优价格满足：*p02bpbqadpdCdpdIdpdU得到：baqp22*最优价格一部分是成本的一半，另一部分与“绝对需求”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院边界收入：bqbpadpdI*2边界支出：bqdpdC当边界支出等于边界收入时利润最大---经济学著名定理！2*)22()(qbabpU最大利润：一、简单优化问题Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院二、数学规划模型案例2：奶制品的生产计划A1A2资源原料奶(桶)劳动时间（h）设备甲能力（kg）设备乙能力(kg)11128300450480100inf一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，参数见表：根据市场需求，生产的A1,A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元。试为该厂订一个生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：一、问题的提出Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院（1）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划？二、模型分析生产计划就是每天生产多少A1和多少A2，获利润最大。或者是每天用多少桶牛奶生产A1和用多少桶牛奶生产A2，获利润最大。当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。二、数学规划模型Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院三、模型的假设1、每天用桶牛奶生产A1，桶牛奶生产A2；可以是任意的实数。1x2x21,xx2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。即技术参数、价值系数为常数二、数学规划模型3、生产的产品全能售出。Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院约束条件：原料限制5021xx48081221xx劳动时间限制设备能力限制10031x决策变量的非负性0,21xx四、模型的建立目标：设每天收入z元。则21416324xxz二、数学规划模型Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院二、数学规划模型0,100348081250.6472xzmax211212121xxxxxxxtsx综上可得：(1)xbAx..axLBtsxczmTSchoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院五、模型求解及结果分析f=[-72;-64];A=[11;128;30];b=[50;480;100];[x,z]=linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[])x=20.0000,30.0000;z=-3.3600e+003[X,z]=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)用于解：minf'*xsubjectto:A*x=bAeq*x=beq.LB=X=UB.二、数学规划模型即按每天用20桶牛奶生产A1，用30桶牛奶生产A2，获最大收益：z=3360元。Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院附加问题（1）和（2）是要不要扩大生产？这取决于对第i种资源的估价——影子价格（）。在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。jbz*附加问题的讨论：附加问题（3）是考虑当费用系数c变化时对最优解和最优值有没有影响?找出使最优解不变的区间。二、数学规划模型Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院TTminsbyAycs.t.(2)y0影子价格y，它由模型（1）的对偶问题决定：321,,bbbT123y[y,y,y]其中，分别为出租（出售）单位资源的附加值.二、数学规划模型[y,s]=linprog(b’,-A’,-c,[],[],[0;0;0],[])y=[48.00002.00000.0000]’;s=3.3600e+003Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院二、数学规划模型元481y解附加问题（1）:由于每桶牛奶的市场价35元低于影子价格，所以企业应买进牛奶用于扩大生产。设再增加x桶，其他条件不变，则有相应生产计划：(3)0,,100348081250.)50(356472xzmax211212121xxxxxxxxxtsxxx=[0.0000,60.0000,10.0000]’;z=-3.4900e+003收入：3840。即最多每天再多买进10桶！Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院解附加问题（2）：在每位临时工人的工资不超过每小时2元的条件下，可以聘用临时工人以增加劳动时间。(4)0,,100348081250.)480(6472xzmax211212121xxxxxxxxxtsxsx设小时工资为s（0=s=2）元，其他条件不变的条件下，再增加x小时，则有相应生产计划：Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院f=[-72-642]';a=[110;128-1;300];b=[50,480,100]';[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[])；x=21.1790，28.8210，4.7160z=-3.3600e+003。收入:s=2时，3369.53f=[-72-640]';a=[110;128-1;300];b=[50,480,100]';[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[])x=33.3333，16.6667，104.3896z=-3.4667e+003。收入：s=0时，3466.70s2时，f=[-72-64s]';a=[110;128-1;300];b=[50,480,100]';[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[])x=33.3333，16.6667，53.3333z=-3.4133e+003。收入：3466.7Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院(5)0,,100348081250.64f)x72(zmax211212121xxxxxxxxtsx解附加问题（3）：求使最优解不变的c的变化范围。由f=0时的最终表:000064721001000348001081250001113360024800200412013004131040143600Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院fff203360041224800200412013004131040143600建立此问题的初始单纯性表:显然，当-48+2f=0,-2-(1/4)f=0时，最优解不变！即96,642472,8721c时，最优解不变！现在，所以不用改变生产计划！903301cSchoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院案例3：奶制品的生产销售计划一、问题的提出案例2的A1,A2的生产条件、利润、资源都不变条件下，提高奶制品深加工技术，增加工厂获利。用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获利44元，每千克B2可获利32元。生产的产品全能售出，试着为该厂订制一个生产销售计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：（1）若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资？若每天投资150元，可赚回多少？（2）每千克高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整？Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院二、模型分析对本案例来讲，决策变量取为A1、A2、B1、B2每天的销售量讨论更方便！当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。三、模型的假设2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。即技术参数、价值系数为常数3、生产的产品全能售出。1、每天销售产品A1、A2、B1、B2分别为公斤，且用公斤A1加工B1，用公斤A2加工B2。4321xxxx、、、5x6xSchoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院四、模型的建立目标：设每天净利润z元。则6543213332441624xxxxxxz约束条件：原料限制50436251xxxx4802248)3(12656251xxxxxx劳动时间限制设备能力限制10051xx决策变量之间的关系645375.0,8.0xxxx决策变量的非负性0,,61xxSchoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院0,,75.08.010048022)(2)(45043.33324416x42zmax616453516562516251654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxx综上可得：Schoolofmathematics&physics华北电力大学数理学院五、模型求解及结果分析利用LINDO6.1max24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6st2)4