本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数

§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即)(s和),(qpB.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数)(s考虑无穷限含参积分01dxexxs,)0(s当10s时,点0x还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为110来讨论其敛散性.10:1s时为正常积分.10s时,01xsex.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到,11,1)(lim110sexxxssx10s时积分10收敛.(易见0s时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,0s时积分10收敛.1:)(,0112xexexxxsxs对sR成立,.因此积分1对sR收敛.综上,0s时积分01dxexxs收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了),0(s内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为)(s,即)(s=01dxexxs,)0(s.函数是一个很有用的特殊函数.2.函数的连续性和可导性:)(s在区间),0(内非一致收敛.这是因为0s时积分发散.这里利用了下面的结果:若含参广义积分在],(bay内收敛,但在点ay发散,则积分在],(ba内非一致收敛.但)(s在区间),0(内闭一致收敛.即在任何],[ba),0(上,)(s一致收敛.因为ba0时,对积分10,有xaxsexex11,而积分101dxexxa收敛.对积分1,xbxsexex11,而积分11dxexxb收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分01dxexxs在区间],[ba上一致收敛.作类似地讨论,可得积分dxexsxs)(10也在区间),0(内闭一致收敛.于是可得如下结论:)(s的连续性:)(s在区间),0(内连续.)(s的可导性:)(s在区间),0(内可导,且0011ln)()(dxxexdxexssxsxs.同理可得:)(s在区间),0(内任意阶可导,且01)()ln()(dxxexsnxsn.3.)(s函数的凸性与极值:0)ln()(201dxxexsxs,)(s在区间),0(内严格下凸.1)2()1((参下段),)(s在区间),0(内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4.)(s的递推公式函数表:)(s的递推公式:)0(),()1(ssss.证00)()1(dxexdxexsxsxs00110)(ssdxexsdxexsexxsxsxs.00111)1(dxedxexxx.于是,利用递推公式得:1)1(1)11()2(,!212)2(2)12()3(,!3!23)3(3)13()4(,…………,,一般地有!)1()1()()1(nnnnnnn.可见,在Z上,)(s正是正整数阶乘的表达式.倘定义)1(!ss,易见对1s,该定义是有意义的.因此,可视)1(s为),1(内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了),1(内的所有实数上,于是,自然就有1)1()10(!0,可见在初等数学中规定1!0是很合理的.函数表:很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理.人们仿三角函数表、对数表等函数表,制订了函数表供查.由函数的递推公式可见,有了函数在10s内的值,即可对0s,求得)(s的值.通常把00.200.1s内函数的某些近似值制成表,称这样的表为函数表.5.函数的延拓:0s时,),()1(sss.)1()(sss该式右端在01s时也有意义.用其作为01s时)(s的定义,即把)(s延拓到了),0()0,1(内.12s时,依式sss)1()(,利用延拓后的)(s,又可把)(s延拓到)1,2(),0()0,1(内.依此,可把)(s延拓到),(内除去),2,1,0(nnx的所有点.经过如此延拓后的)(s的图象如[1]P347图表21—4.例1求)85.4(,)85.0(,)15.2(.(查表得)85.1(94561.0.)解)85.4()85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.319506.1994561.085.185.285.3.85.0(85.0)85.1(),11248.185.094561.085.0)85.1()85.0(.15.0)85.0(15.115.2115.1)15.0(15.2115.2)15.1()15.2(54967.215.015.115.294561.0.6.函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数.倘能如此,可查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ令)0(pptx,有)(s=01dxexxs01dtetpptss,因此,01)(spdxexspxs,)0,0(sp.ⅱ令,2tx01222)(dtetsts.注意到[1]P277E7的结果022dxex,得)(s的一个特殊值221772454.12202dtet.ⅲ令)0(lntx,得)(s10111lndtttss.取1,得)(s101011)ln(1lndttdttss.例2计算积分022dxexxn,其中Zn.解I01212!)!12()21(2!)!12(21)21(21212nntnxtnnndtet.二.Beta函数),(qpB——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称(含有两个参数的)含参积分1011)1(dxxxqp)0,0(qp为Euler第一型积分.当p和q中至少有一个小于1时,该积分为瑕积分.下证对0,0qp,该积分收敛.由于1,qp时点0x和1x均为瑕点.故把积分10分成210和121考虑.210:1p时为正常积分;10p时,点0x为瑕点.由被积函数非负,)0(,1)1(111xxxxqpp和11p,(由Cauchy判法)积分210收敛.(易见0p时积分210发散).121:1q时为正常积分;10p时,点1x为瑕点.由被积函数非负,)1(,1)1()1(111xxxxpqq和11q,(由Cauchy判法)积分121收敛.(易见0q时积分121发散).综上,0,0qp时积分10收敛.设D}0,0|),({qpqp,于是,积分10定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为),(qpB,即),(qpB=1011)1(dxxxqp)0,0(qp不难验证,B函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,B函数是D内的二元连续函数.2.B函数的对称性:),(qpB),(pqB.证),(qpB=1011)1(dxxxqp01111)1(dtttqptx1011),()1(pqBdtttpq.由于B函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3.递推公式:),1(1)1,1(qpBqpqqpB.证10101)()1(11)1()1,1(pqqpxdxpdxxxqpBdxxxpqdxxxpqxxpqpqppq10111011101)1(1)1(1)1(11,)*而1011011)1)](1([)1(dxxxxxdxxxqppqp10101)1,1(),1()1()1(qpBqpBdxxxdxxxqpqp,代入)*式,有)1,1(1),1(1)1,1(qpBpqqpBpqqpB,解得),1(1)1,1(qpBqpqqpB.由对称性,又有)1,(1)1,1(qpBqppqpB.4.B函数的其他形式:ⅰ令xy,有101011)1(1)1(dyyyydxxx1011111,11)1(1Bdyyy,因此得101,11)1(Bdxxx,1,01.ⅱ令xycos,可得2021,2121cossinBxdxx,1,1.特别地,2021,2121sinnBxdxn,Zn.ⅲ令ttx1,有),(qpB=1011)1(dxxxqp=01)1(dtttqpp,即01),()1(qpBdtttqpp,)0,0(qpⅳ令abaabxt,可得banmnmnmBabdxxbax),,()()()(1110,0nm.ⅴ1011),()1(1)()1(nmBaadxxaxxnnnmnm,0,0;1,0nma.三.函数和B函数的关系:函数和B函数之间有关系式)()()(),(qpqpqpB,)0,0(qp以下只就p和q取正整数值的情况给予证明.p和q取正实数值时,证明用到函数的变形和二重无穷积分的换序.参阅[1]P349.证反复应用B函数的递推公式,有)1,(112211)1,(11),(mBmnmnnmnnmBnmnnmB,而101,1)1,(mdxxmBm)!1()!1(1112211),(mmmmnmnnmnnmB)()()()!1()!1()!1(mnmnnmmn.特别地,0,0qp且1qp或2qp时,由于1)2()1(,就有)()(),(qpqpB.余元公式——函数与三角函数的关系：对10p，有pppsin)1()(.该公式的证明可参阅:Фихтенгалъц,微积分学教程Vol2第3分册,或参阅余家荣编《复变函数》P118—119例1（利用留数理论证明）.利用余元公式,只要编制出210s时)(s的函数表,再利用三角函数表,即可对0s,查表求得)(s的近似值.四.利用Euler积分计算积分:例3利用余元公式计算21.解2sin21121212,21.例4求积分061xdx.解令6xt,有I0065611616565,6161)1(61161Bdtttdttt36sin616116161.例5计算积分10441xdx.解,2111lim4441xxx141p,该积分收敛.(