2.1.2-求曲线的方程

2.1.2求曲线的方程第一课时方程的曲线和曲线的方程:⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;f(x,y)=00xy在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标(x,y)曲线曲线的方程坐标化研究一、二、坐标法形成解析几何迪卡尔平面解析几何研究的主要问题是：1.求曲线的方程;2.通过方程研究曲线的性质.⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程.•1．坐标法与解析几何的研究对象(1)坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法．(2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法待定系数法问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy(Ⅰ)化简⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程(Ⅰ)的解,即11270xy∵上面变形过程步步可逆,∴22221111(1)(1)(3)(7)xyxy11MAMB综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.这种求曲线的方程的方法叫：直接法直接翻译法以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.建系设点列式代换化简审查第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(去杂补漏).最为核心的是：1.找等量列方程；2.化简；3.去杂补漏例1已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.xy0(0,2)(,)xyF..MlB例1.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式3）代换4)化简5）审查(0,2)AMB1）建系设点因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.•变式练习2:•已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．•[解题过程]•以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|＝a，C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)，∴C点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．•[题后感悟]如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．•要注意：去杂补漏，如△三点不共线，斜率是否存在，分母为0，圆周角90度不包括直径端点，变形过程是否等价。.B例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则)1(a)(xa2yx:化简，得.21axyaxy,21kka)(x,axyk,axyk222MBMAMBMA由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。•[题后感悟](1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．•(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．•变式：已知B(－1,0)，C(2,0)是△ABC的顶点，∠ACB＝2∠ABC.求顶点A的轨迹方程．•[解题过程]如图所示，设动点A(x，y)，显然x1.(1)当点A(x，y)在x轴上方，即y0时，①当x≠2时，kAB＝yx＋1＝tan∠ABC.kAC＝yx－2＝－tan∠ACB.∵∠ACB＝2∠ABC，∴tan∠ACB＝tan2∠ABC＝2tan∠ABC1－tan2∠ABC，∴－kAC＝2kAB1－k2AB，即－yx－2＝2yx＋11－yx＋12化简得x2－y23＝1(x1且x≠2，y0)②当x＝2时，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝π4，点A的坐标为A(2,3)易验证点A(2,3)满足方程x2－y23＝1.(2)当点A在x轴下方，即y0时，①当x≠2时，kAB＝－tan∠ABC＝yx＋1；kAC＝yx－2＝tan∠ACB.由∠ACB＝2∠ABC得∠ACB＝2tan∠ABC1－tan2∠ABC，∴kAC＝－2kAB1－－kAB2，即yx－2＝－2×yx＋11－－yx＋12化简得x2－y23＝1(x1且x≠2，y0)②当x＝2时，易求得A(2，－3)满足方程x2－y23＝1.综上所述，所求动点A的轨迹方程是x2－y23＝1(x1)．•[题后感悟](1)本例用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系式列方程求解．•(2)注意：列方程时，如果出现分母，要考虑可能为零的情况，如在本例中，分x≠2和x＝2两种情况讨论，并且据等量关系式和图象，又可判断x1.这些隐含的约束条件不仅要挖掘出来，还要在求出的方程中标示出来．例3、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.（代入法）3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可把这种依赖关系转化为这4个坐标间的关系式：然后代入方程F(x’,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程.x’=f(x,y),y’=g(x,y)变式：动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．[规范作答]设P(x，y)，M(x0，y0)，2分∵P为MB的中点．∴x＝x0＋32，y＝y02，即x0＝2x－3y0＝2y，8分又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.10分∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.12分[题后感悟](1)代入法：像本例将所求点M的坐标代入已知曲线方程求得动点M的轨迹方程的方法叫代入法．(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上任意点M(x，y)，设动点(已知轨迹的动点)P(x0，y0)．②求关系式：求出两个动点的关系式x0＝fx，y，y0＝gx，y.③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．•(3)何时用代入法求轨迹方程？已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的方程时，往往用代入法．思考:(37P练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM思维漂亮!(,)xy几何法变式练习分析已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数求动点M的轨迹方程221.xy(0),0xyMNQ例3、求抛物线的顶点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR4.参数法:当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点的坐标x,y，从而得到动点轨迹的参数方程：消去参数t，便得到动点的轨迹的普通方程。相关练习:课本P37---B组T1归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。()()xftygt,(5,0),(5,0),,(0),ABCABACBCmmC练习1、已知的两个顶点的坐标分别是且所在直线的斜率之积等于试探求顶点的轨迹方程。解：设C（x，y）．由已知，得直线AC的斜率kAC＝5yx（x≠－5）；直线BC的斜率kBC＝5yx（x≠5）；由题意，得kACkBC＝m，所以，5yx×5yx＝m（x≠±5）．写成225x－225ym＝1（x≠±5）．（直接法）2225xy22(3)48xy1.求曲线的方程的一般步骤：建、设（建系设点）限（找等量关系）代（几何条件代换成代数结果——列方程）化（化简方程）验（查漏补缺）---M(x,y)---P={M|M满足的条件}课堂小结最为核心的是：1.找等量列方程；2.化简；3.去杂补漏M点,)xy坐标(按某中规律运动C曲线,xy的制约条件(,)0fxy方程几何意义代数意义2.“数形结合”数学思想的基础•3.建立适当的坐标系•(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；•(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；•(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；•(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系．回到原来总结的位置