对坐标的积分

二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分间的联系一、对坐标曲线积分的概念第四节对坐标的曲线积分第五模块二重积分与曲线积分一、对坐标曲线积分的概念引例变力沿曲线所作的功.设一质点在力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下，在xy平面上沿曲线L从点A移动到点B，求变力F(x,y)所作的功.将有向弧段L任分为n个有向子弧段，即用点A=M0(x0,y0)，M1(x1,y1)，，Mn(xn,yn)=B把有向曲线L分成n个有向小段，它相应的有向弦段为第i段有向曲线弧段为Mi-1Mi(i=1,2,,n)，Mi-1Mi=(xi)i+(yi)j，B=MnMiMi-1M2M1A=M0(xi,hi)xiyiOF(xi,hi)xy其中xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1是有向小弧段Mi-1Mi分别在x轴和y轴上的投影.如果函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则在每段小弧段上，它们的变化就不会太大，因此我们可以用有向弧段Mi-1Mi上任意一点(xi,hi)处受到的力F(xi,hi)=P(xi,hi)i+Q(xi,hi)j，近似代替Mi-1Mi上各点处受到的力.这样，变力F(x,y)沿有向小弧段Mi-1Mi所作的功Wi就近似地等于常力F(xi,hi)沿有向弦段Mi-1Mi所作的功，即WiF(xi,hi)Mi-1Mi=P(xi,hi)xi+Q(xi,hi)yi.于是变力F(x,y)在有向曲线弧MoMn上所作功的近似值为.),(),(11niiiiiiiniiyQxPWWhxhx令表示n个小弧段的最大弧长，当0时，上式的右端极限如果存在，则这个极限就是W的精确值，即.),(),(lim10niiiiiiiyQxPWhxhx上述和式的极限，就是如下两个和式的极限niiiixP10),(limhx与niiiiyQ10),(limhx定义设L为xy平面上由点A到点B的有向光滑曲线，),,(000yxMA),,(111yxM),,(,iiiyxM),(,nnnyxM,B即xi=xi–xi-1(yi=yi–yi-1).作和式记xi(或yi)为有向小弧段Mi-1Mi在x轴(y轴)上的投影，在Mi-1Mi上任取一点(xi,hi)，,),(),(11niiiiniiiiyQxPhxhx或记为n个小弧段的最大弧长.且函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义.由点A到点B把L任意地分成n个有向小弧段，记分点为如果niiiiniiiiyQxP1010),(lim),(limhxhx或存在，则称此极限值为函数P(x,y)、(Q(x,y))在有向曲线Ｌ上对坐标x(对坐标y)的曲线积分.记作LiniiixPxyxP.),(limd),(10hx.Δ),(limd),(10LiniiiyQyyxQhx对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即LLyyxQxyxP.d),(d),(简记为LyyxQxyxP.d),(d),(称之为组合曲线积分.设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ-是与Ｌ方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：LxyxPd),(LxyxP,d),(LyyxQd),(LyyxQ.d),(或LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxP.d),(d),(若Ｌ=Ｌ1+Ｌ2，则LxyxPd),(1d),(LxyxP2d),(LxyxPLyyxQd),(或1d),(LyyxQ.d),(2LyyxQ二、对坐标曲线积分的计算法设有向曲线L的参数式方程为x=x(t),y=y(t).又设t=a对应于L的起点，t=b对应于L的终点(这里a不一定小于b)当t由a变到b时，点M(x,y)描出有向曲线L，如果x(t)、y(t)在以a、b为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则LxyxPd),(.d)()](),([ttxtytxPbaLyyxQd),(.d)()](),([ttytytxQba(11.2.1)(11.2.2)证明从略.对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：(1)因为P(x,y)、Q(x,y)定义在曲线L上，所以x、y应分别换为x(t)、y(t)；(2)dx、dy是有向小曲线段在坐标轴上的投影，dx=x(t)dt、dy=y(t)dt；(3)起点A对应的参数t=a是对t积分的下限，终点B对应的参数t=b是对t积分的上限.如果有向曲线L的方程为y=y(x)，则LyyxQxyxPd),(d),(.d)}()](,[)](,[{xxyxyxQxyxPba这里a是曲线L的起点的横坐标，b是曲线L的终点的横坐标，a不一定小于b.如果L的方程为x=x(y)，则有LyyxQxyxPd),(d),(.d]}),([)(]),([{yyyxQyxyyxPdc其中c是曲线L的起点的纵坐标，d是曲线L的终点的纵坐标，c不一定小于d.上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，例1试计算曲线积分,d)(xyxL其中L为沿着抛物线y=x2从点O(0,0)到点A(2,4)再沿直线由点A(2,4)到点B(2,0)解由于曲线积分对路径具有可加性，因此Lxyxd)(1d)(Lxyx2,d)(LxyxL2为直线段AB.因为dx=0，所以它的值为零.又L1的方程为y=x2，故Lxyxd)(1d)(Lxyx.314d)(220xxxy1234A(2,4)B(2,0)x=2y=x2L1L2x12O其中L1为曲线弧OA，例2试计算曲线积分其中积分路径为Lxyyx,dd(1)在椭圆，上2222byax从点A(a,0)经第一、二、三象限到点B(0,-b).(2)在直线上，bxaby从点A(a,0)到点B(0,-b).yxAOB解(1)因为所给椭圆的参数方程为.sin,costbytax且起点A对应的参数t=0.曲线上的对应点描出弧AB，所以有终点B对应的参数，π23t当t由0增大到,π23时tttbattabcd)]sin(sincosos[π230.π23dπ230abtbaABxyyxdd(2)因为所给线段AB所在的直线方程为,bxaby.d0abxbxababxa且起点A对应于x=a，终点B对应于x=0，所以,ddxabyABxyyxdd三、两类曲线积分间的联系则dx=dlcos(t,x),记(t,x)(t,y)分别表示切线向量与x轴y轴正向的夹角.于是由示意图可知dy=dlsin(t,x)=dlcos(t,y),LLlyQxPyQxP.d),cos(),cos(ddttyxOABdydxdlt