3.3 一元二次不等式及其解法-刘贤全

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.3一元二次不等式及其解法山东省五莲中学高中数学组上一页返回首页下一页1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1一元二次不等式的概念阅读教材P74～P74倒数第四行，完成下列问题.1.一元二次不等式的概念一般地，含有____未知数，且未知数的最高次数为__的整式不等式，叫做一元二次不等式.一个2上一页返回首页下一页2.一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的__________，叫做这个一元二次不等式的___，其解的____，称为这个一元二次不等式的____.未知数的值解集合解集上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式.()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解.()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解.()(4)x2－x0为一元二次不等式.()上一页返回首页下一页【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.(2)×.因为a0，所以不等式ax2＋10恒成立，即原不等式的解集为R.(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立.故该说法正确.(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×上一页返回首页下一页教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P74倒数第三行～P78练习A以上内容，完成下列问题.三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解上一页返回首页下一页画函数y＝f(x)的示意图f(x)＞0____________________________R解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤得等的集不式解f(x)＜0___________________{x|x＜x1或x＞x2}xx≠－b2a{x|x1＜x＜x2}上一页返回首页下一页1.不等式x2≤1的解集为________.【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}.【答案】{x|－1≤x≤1}2.不等式2x≤x2＋1的解集为________.【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.【答案】R上一页返回首页下一页3.设集合M＝{x|x2－x0}，N＝{x|x24}，则M与N的关系为________.【解析】因为M＝{x|x2－x0}＝{x|0x1}，N＝{x|x24}＝{x|－2x2}，所以【答案】上一页返回首页下一页4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________.【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解.【答案】{x|x＜－2或x＞3}上一页返回首页下一页[小组合作型]解一元二次不等式求下列一元二次不等式的解集.(1)x2－5x6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x6.上一页返回首页下一页【精彩点拨】上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由x2－5x6，得x2－5x－60.∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x|x－1，或x6}.(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，方程(2x－1)2＝0的根为x＝12.∴4x2－4x＋1≤0的解集为xx＝12.上一页返回首页下一页(3)由－x2＋7x6，得x2－7x＋60，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋60的解集为{x|1x6}.上一页返回首页下一页1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.上一页返回首页下一页[再练一题]1.解下列不等式：(1)2x2－x＋60；(2)－12x2＋3x－50；(3)(5－x)(x＋1)≥0.上一页返回首页下一页【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×60，函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点.∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋100，∵Δ＝62－40＝－40，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.上一页返回首页下一页XXX解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式x2－ax－2a20(a∈R).【精彩点拨】因式分解→比较根的大小→分类讨论求解【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a0时，x1x2，不等式的解集为{x|－ax2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x20，无解；上一页返回首页下一页(3)当a0时，x1x2，不等式的解集为{x|2ax－a}.综上所述，原不等式的解集为：a0时，{x|－ax2a}；a＝0时，x∈∅；a0时，{x|2ax－a}.上一页返回首页下一页1.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).2.解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.上一页返回首页下一页[再练一题]2.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a0).【解】原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2a0时，2a≤x≤－1；上一页返回首页下一页当a＝－2时，x＝－1；当a－2时，－1≤x≤2a.综上所述，当－2a0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a－2时，解集为x－1≤x≤2a.上一页返回首页下一页[探究共研型]一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y0、y0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？上一页返回首页下一页【提示】y＝x2－2x－3的图象如图所示.上一页返回首页下一页函数y＝x2－2x－3的值满足y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x－1或x3}；同理，满足y0时x的取值集合为{x|－1x3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}.这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y0或y0时，就转化为一元二次不等式.上一页返回首页下一页探究2方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－30的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}.不等式x2－2x－30的解集为{x|x－1或x3}，观察发现不等式x2－2x－30解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.这说明：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，即不等式的解集的端点值是相应方程的根.上一页返回首页下一页若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集.【精彩点拨】一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.【自主解答】法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2，知a＜0,又－13×2＝ca＜0，则c＞0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，上一页返回首页下一页∴－ba＝53.∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0.所求不等式的解集为x－3＜x＜12.上一页返回首页下一页法二：由已知得a＜0且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca，知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12，∴x1＝1－13＝－3，x2＝12.∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为x－3＜x＜12.上一页返回首页下一页已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.上一页返回首页下一页3.已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求不等式cx2－bx＋a0的解集.【解】由题意知2＋3＝－ba，2×3＝ca，a0，即b＝－5a，c＝6a，a0.上一页返回首页下一页代入不等式cx2－bx＋a0，得6ax2＋5ax＋a0(a0).即6x2＋5x＋10，解得－12x－13，所以所求不等式的解集为x－12x－13.上一页返回首页下一页1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为()A.x－23≤x≤12B.xx≤－23或x≥12C.xx≥12D.xx≤－23上一页返回首页下一页【解析】因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为x－23≤x≤12.【答案】A上一页返回首页下一页2.不等式2x＋1＜1的解集是()A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－1,1)【解析】∵2x＋1＜1，∴2x＋1