36椭圆及其标准方程

高三总复习人教A版·数学（理）第六节椭圆高三总复习人教A版·数学（理）1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想．高三总复习人教A版·数学（理）1．椭圆的定义(1)定义：平面内两定点为F1、F2，当动点P满足条件时，P点的轨迹为椭圆；F1、F2是椭圆的两个．(2)定义的数学表达式为：．点P到点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)高三总复习人教A版·数学（理）(3)注意：定义中，“定值大于|F1F2|”(即2a2c)是必要条件．当2a＝2c时，动点轨迹是；而当2a2c时，动点轨迹不存在．两焦点的连线段高三总复习人教A版·数学（理）以（0,3），（0，-3）为焦点2a=10的椭圆616高三总复习人教A版·数学（理）4．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由右图可知PQ＝PA，而OP＋PA＝r(圆的半径)，即PQ＋OP＝r.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，故选A.答案：A高三总复习人教A版·数学（理）标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)简图范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b顶点坐标(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2．椭圆的标准方程与几何性质(填表)高三总复习人教A版·数学（理）5221221,021,040m11622yx11622xy11622yx高三总复习人教A版·数学（理）1162522yx01162522yyx高三总复习人教A版·数学（理）热点之一椭圆的定义及应用注意对椭圆定义的准确理解和灵活运用．椭圆定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述，若P为椭圆上任意一点，则|PF1|＋|PF2|＝2a|F1F2|；若2a＝|F1F2|，则轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则轨迹不存在．在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到利用定义进行求解，会有事半功倍之效．高三总复习人教A版·数学（理）例：与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为____________．解析：设动圆的半径为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件：|PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，则|PC1|＋|PC2|＝10|C1C2|＝6.∴P点的轨迹为以C1(－3,0)、C2(3,0)为焦点，长轴长2a＝10的椭圆，则a＝5，c＝3，∴b2＝16，所求椭圆的方程为x225＋y216＝1.答案：x225＋y216＝1高三总复习人教A版·数学（理）例：已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)，根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|·|PF2|＝18，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.高三总复习人教A版·数学（理）第一式两端平方并把第二、三两式代入，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，即b＝3.故填3.答案：3高三总复习人教A版·数学（理）[思路探究]本题直接利用椭圆的定义，由点P到椭圆两焦点的距离和为2a，求出|PF1|和|PF2|的值．另外本题还要巧妙地应用PF1的中点N和F1F2的中点O的连线段在y轴上，从而有PF2⊥x轴．已知F1，F2为椭圆x212＋y23＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且|PF1|＝t|PF2|，则t的值为()A．3B．4C．5D．7高三总复习人教A版·数学（理）答案：D[课堂记录]设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，故|PF2|＝b2a＝32，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝43，∴|PF1|＝732，t＝7.故选D.高三总复习人教A版·数学（理）2．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2→|等于()A.32B.3C.72D．4高三总复习人教A版·数学（理）解析：本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识．一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径．椭圆、双曲线的通径长为2b2a.本题中|PF1|＝b2a＝12，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4－12＝72.答案：C高三总复习人教A版·数学（理）热点之二椭圆的标准方程椭圆标准方程的求法1．定义法：确定c及a值，确定焦点所在坐标轴，直接写出方程．2．待定系数法：若已知焦点的位置可唯一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，其中A，B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如x2a2＋y2b2＝λ，λ0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算．高三总复习人教A版·数学（理）124408104543054302222222xya1420420,1351601222222222222xybababababxay得设高三总复习人教A版·数学（理）[课堂记录]由点A在圆上，解得m＝1，设F1(－c,0)，则PF1的方程为4x－(4＋c)y＋4c＝0，又直线PF1与圆相切，即[例2](2010·广东六校联考)已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m3)与椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个公共点为A(3,1)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切，求m的值与椭圆的方程．高三总复习人教A版·数学（理）[思维拓展]本题是利用待定系数法，将椭圆上点的坐标代入方程，通过a，b，c的关系这个隐含条件，列出方程组，求出参数的值．|4＋4c|16＋4＋c2＝5，解得c＝4，由a2－b2＝16，9a2＋1b2＝1，可得a2＝18，b2＝2，故椭圆方程为x218＋y22＝1.高三总复习人教A版·数学（理）高三总复习人教A版·数学（理）高三总复习人教A版·数学（理）19422yx5125910022xyx1121622yx