61探索性因素分析

1探索性因素分析：主成分分析與因素分析2相關矩陣Observedcorrelationmatrix由觀察變項計算得到的相關係數矩陣Reproducedcorrelationmatrix由因素導出的相關係數矩陣Residualcorrelationmatrix觀察相關係數矩陣與重製相關係數矩陣的差異3因素分析的各類矩陣Orthogonalrotation直交轉軸所有的因素不具有相關的轉軸結果Obliquerotation斜交轉軸因素間具有相關的轉軸結果Loadingmatrix因素負荷矩陣直交轉軸後各觀察變項與因素間的相關係數矩陣Structurematrix結構矩陣斜交轉軸後各觀察變項與因素間的相關係數矩陣Patternmatrix型態矩陣斜交轉軸後各觀察變項與因素間排除因素間相關後之相關係數矩陣為斜交轉軸可以反應因素意義的係數Factorscorecoefficientsmatrix因素分數係數矩陣用以反應因素得分的類迴歸方程式係數矩陣4因素分析的目的與問題因素分析的主要目的在將繁多的變項縮減為少數的因素，找出變項背後的結構，涉及下列問題的探討因素數目的決定因素的內容與性質因素的重要性理論的檢驗因素分數的估計5因素分析的限制理論層次的問題因素的抽取必須具有相當的理論與邏輯基礎。重要的因素必須被涵蓋，無關的測量應該被排除因素背後應有特定且穩定的測量變項，稱為markervariable，是用來定義因素的重要變項因素內的複雜性需被仔細的評估。反應在與多個因素有關係的觀察變項樣本的選取需能涵蓋測量變項的變異性樣本間的比較亦能反應因素的特性實務層次的問題因素分析受到相關係數的特性所影響，任何影響相關係數的原因都可能干擾因素分析樣本數、遺漏值、常態性、線性關係、偏離值多元共線性(multicollinearity)與單一性(singularity)，極端的共線性與單一性對於因素分析具有影響相關係數的大小：如果觀察矩陣中相關係數均小於.3，抽取因素能力低，可能需放棄使用因素分析因素分析的偏離值：當某測量變項不被因素所解釋時。當僅有兩個變項所決定的因素，可能是一種不穩定的因素。6因素分析的類型不同萃取方法皆產生直交的成分或因素來反應觀察相關矩陣R不同點在於抽取的標準不同，例如最大變異、最小殘差等當樣本數大、觀察變項數目多或共同性估計相近時，各方法差異不大因素分析結果是否穩定不是決定於萃取的方法而是變項間的關係方法目的PCA：單純的化簡測量（得到成分components）FA：尋找測量題目背後的結構與理論意涵，並利用這些潛在結構進行分析應用（得到因素factors）萃取過程差異在於兩者對於觀察相關矩陣的處理方式也就是處理變異數上的差異PCAanalyzesvariance:觀察變項的所有變異量均被分析（觀察相關係數矩陣中對角線總和）FAanalyzescovariance:僅有共同變異量（sharedvariance）被分析（觀察相關係數矩陣中對角線以共同性來取代）萃取結果PCA：以最少的直交成分來解釋最大的變項變異量具有單一的數學解FA：以最少的直交因素來反應相關矩陣具有不同的最佳解7不同的萃取方法一主成分法(Principalcomponents)目的在使每一個成分能夠代表最大的觀察變異量第一個主成分為觀察變項的線性整合，能夠反應最大的變異量，依序發展各主成分可以得到最大的解釋變異量主要因素法(principalfactors)以共同性為分析的對象因素的抽取以疊代程序來進行，起始值為SMC（squaredmultiplecorrelations），反覆帶入共同性直到無改善能夠產生最理想的重製矩陣映像因素萃取(imagefactorextraction)各觀察變項的變異量為其他變項的投射。每一個變項的映像分數係以多元迴歸的方法來計算，映像分數的共變矩陣被進行PCA類似PCA，能夠產生單一的數學解，對角線與FA相同，為共同性因素負荷量不是相關係數，而是變項與因素的共變8不同的萃取方法二最大概似因素萃取(maximumlikelihoodfactorextraction)以因素負荷量的母數估計數為主要目的計算樣本求得之觀察矩陣能夠反應母體的最大機率之負荷量因素可進行顯著性考驗，適用於驗證性分析也即是求取變項與因素間的最大典型相關無加權最小平方法(unweightedleastsquaresfactoring)求取觀察與重製矩陣的殘差的最小平方值只有非對角線上的數據被納入分析共同性是分析完成之後才進行計算一般加權最小平方法(generalizedweightedleastsquaresfactoring)在無加權平方法下，增加權數的考量(以共同性加權)有較大的共同變異的變項被較大的加權Alpha法(alphafactoring)處理共同因素的信度，提高因素的類化性（generalizability）共同性的估計是在使因素的alpha信度達到最大9Rotation轉軸轉軸的時機依目的：得到最佳的結構，或保留因素的原始面貌利用因素散佈圖協助判斷：觀察變項應在各軸上：接近各軸，遠離原點，形成群落Orthogonalrotation(直交轉軸)Varimax:使負荷量的變異數在因素內最大（Г=1）Quartimax:使負荷量的變異數在變項內最大（Г=0）Equamax:綜合前兩者，使負荷量的變異數在因素內與變項內同時最大（Г=.5）Г（gamma）指標:表示簡化的程度：0表變項最簡化，1表因素最簡化，.5表兩者各半Obliquerotation(斜交轉軸)允許因素間具有相關之轉軸因素間最大的相關由δ（delta）決定，負的δ越小，表示月接近直交，δ=-4為直交，δ接近1時，因素間的相關可能最高Directoblimin:使因素負荷量的差積（cross-products）最小化Directquartimin:使型態矩陣中的負荷量平方的差積（cross-products）最小化Orthoblique:使用quartimax算式將因素負荷量重新量尺化（rescaled）以產生直交的結果，因此最後的結果保有斜交的性質Promax:將直交轉軸（varimax）的結果再進行有相關的斜交轉軸。因素負荷量取2，4，6次方以產生接近0但不為零的值，藉以找出因素間的相關，但仍保有最簡化因素的特性10直交轉軸概念圖1112四種萃取方法之比較主成分分析主軸因子Alpha因素萃取法映像因素萃取法12121212COST-.087-.988-.086-.981-.086-.981-.086-.968LIFT-.072.989-.071.977-.071.977-.071.965DEPTH.997-.026.994-.026.994-.026.993-.026POWDER.998.040.997.040.997.040.993.040特徵值2.0161.9422.0051.9091.9971.9171.9841.870解釋％50.4148.5450.1247.7349.9347.9249.6146.74轉軸特徵值2.0031.9551.9951.9191.9951.9191.9831.871直交％50.0748.8849.8747.9949.8747.9949.5946.76總變異％98.9597.8597.8596.351314因素分析的範例說明CostCostofskiticketLiftSpeedofskiliftDepthDepthofsnowPowderMoistureofsnowS132646567S261376265S359404543S436623435S562464340CostLiftDepthPowderCost1.000-.953.055-.130Lift-.9531.000-.091-.036Depth-.055-.0911.000.990Powder-.130-.036.9901.00015特徵向量與特徵值相關矩陣中的對角線代表變項的標準化的變異量（1.00）因素分析經由因素的萃取對於觀察變項相關矩陣進行萃取後，轉換成為特徵值（L）L=V’RVV’V=IV稱為特徵向量上式可以轉換為R=AA’，A稱為因素負荷矩陣91.100.00.00.2207.675.252.658.685.177.651.283.00.1990.036.130.990.00.1091.055.036.091.00.1953.130.055.953.00.1207.252.685.651.675.658.177.283.L相關矩陣R特徵值矩陣LAAVLLVVLLVVVLR)')(('16因素負荷矩陣前式可以轉換為R=AA’，A稱為因素負荷矩陣AAVLLVVLLVVVLR)')(('286.956.348.932.947.251.900.400.91.100.00.00.2207.675.252.658.685.177.651.283.ALVA17直交轉軸Varimax法：將因素負荷量的變異數最大化將高相關更高，低相關更低（19度轉軸）rotatedunrotated040.997.026.994.977.071.981.086.946.325.325.946.286.956.348.932.947.251.900.400.rotatedcossinsincos18共同性與解釋百分比Communality共同性：變項的變異量被因素解釋的百分比040.997.026.994.977.071.981.086.rotated(-.086)2+(.981)2=.970(997)2+(-.040)2=.996(.994)2+(.026)2=.989(-.071)2+(-.997)2=.9603.9151.9941.919SUM=.98.50.48%=19重製矩陣重製矩陣為由因素所推導出的相關矩陣R996.990.033.125.990.989.098.059.033.098.962.953.125.059.953.970.040.026.977.981.997.994.071.086.040.997.026.994.977.071.981.086.R996.990.033.125.990.989.098.059.033.098.962.953.125.059.953.970.996.990.036.130.990.989.091.055.036.091.960.953.130.055.953.970.RRRres000.000.003.005.000.000.000.004.003.007.002.000.005.004.000.000.20Factorscores因素分數因素分數的產生由因素負荷量為基礎，透過迴歸分析原理來獲得一組因素分數係數，即可計算因素分數因素分數係數為因素負荷量與相關係數反矩陣的乘積因素分數為原始變項分數轉換為Z分數後乘以因素分數係數而得各變項由因素得到的預測分數公式如下ARB1ZBF1FAZ21解說總變異量2.01650.40850.4082.