浙江高考数学一轮复习第十章10.2双曲线及其性质课件

第十章圆锥曲线与方程§10.2双曲线及其性质高考数学(浙江专用)考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017天津文,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为 ()A. - =1B. - =1C. -y2=1D.x2- =122xa22yb24x212y212x24y23x23y五年高考答案D本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.3ba323y方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.2.(2017课标全国Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =122xa22yb52212x23y28x210y24x25y25x24y24x23y答案B本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.24x25y24xk25yk212x23y24x25y一题多解∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.212x23y212x23y52ba5224x25y3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24y答案B本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.由离心率为 可知a=b,c= a,所以F(- a,0),由题意可知kPF= = =1,所以 a=4,解得a=2 ,所以双曲线的方程为 - =1,故选B.222400(2)a42a2228x28y方法总结求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.4.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ()A.(-1,3)B.(-1, )C.(0,3)D.(0, )22xmn223ymn33答案A∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴ ①或 ②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.22220,30,34,mnmnmnmn22220,30,(3)()4,mnmnmnmn解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n0.5.(2015天津,6,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =122xa22yb37221x228y228x221y23x24y24x23y答案D因为点(2, )在渐近线y= x上,所以 = ,又因为抛物线的准线为x=- ,所以c= ,故a2+b2=7,解得a=2,b= .故双曲线的方程为 - =1.选D.3baba3277324x23y6.(2015广东,7,5分)已知双曲线C: - =1的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =122xa22yb5424x23y29x216y216x29y23x24y7.(2015福建,3,5分)若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ()A.11B.9C.5D.329x216y答案B|PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.8.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 ()A.x2- =1B. -y2=1C. -x2=1D.y2- =124y24x24y24x答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.9.(2014天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =122xa22yb25x220y220x25y2325x23100y23100x2325y答案A由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.ba25x220y10.(2012大纲全国,8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ()A. B. C. D. 14353445答案C∵a=b= ,∴c=2.由 得|PF1|=4 ,|PF2|=2 ,由余弦定理得cos∠F1PF2= = .故选C.21212||||22,||2||PFPFPFPF22222121212||||||2||||PFPFFFPFPF34评析本题考查了余弦定理和双曲线的基础知识,利用双曲线的定义求|PF1|和|PF2|是解题的关键.本题容易误认为a=b=2而造成错解.11.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.23y答案(2 ,8)7解析△PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图). 当P在P1点处时,∠F1P1F2=90°, = |F1F2|·| |= |P1F1|·|P1F2|.由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得|P1F1|·|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2 .当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,∴ =2,易知 =3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,112PFFS121Py1272Px2Py∴当△PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|∈(2 ,8).7评析找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键.12.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1的焦距是.27x23y答案2 10解析由 - =1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c= ,所以2c=2 .27x23y1010考点二双曲线的几何性质1.(2017课标全国Ⅱ文,5,5分)若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ()A.( ,+∞)B.( ,2)C.(1, )D.(1,2)22xa222答案C本题考查双曲线的方程和性质.由题意知e= = ,因为a1,所以e ,又e1,所以1e ,故选C.ca211a222.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 ()A. B. C. D. 23y13122332答案D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图. ∵PF⊥x轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF= ×3×1= .故选D.12323.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 ()A.2B. C. D. 22xa22yb32233答案A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系.由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线 - =1的渐近线方程为y=± x,即bx±ay=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以 = ,所以 = .故离心率e= =2.选A.22xa22ybba22|2|bab2221ba3221ba方法总结求双曲线离心率e的常见方法有两种.一是直接法:e= = ;二是间接法:即由条件得到关于a、c的等式,再化成关于e的方程求解.ca221ba4.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1: +y2=1(m1)与双曲线C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 ()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.mn且e1e21D.mn且e1e2122xm22xn答案A在椭圆中,a1=m,c1= ,e1= .在双曲线中,a2=n,c2= ,e2= .因为c1=c2,所以n2=m2-2.从而 · = = ,令t=m2-1,则t0, · = 1,即e1e21.结合图形易知mn,故选A.21m21mm21n21nn21e22e2222(1)(1)mnmn2222(1)(2)mmm21e22e221tt思路分析根据焦点相同可得关于m2与n2的关系式,然后建立  关于m的关系式,然后判定范围即可.21e22e评析本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.5.(2016天津,6,5分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 ()A. - =1B. - =1C. - =1D. - =124x22yb24x234y24x243y24x24y24x212y答案D不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由①③得 = ,④所以 = × = ,⑤由②④⑤可得b2=12.所以双曲线的方程为 - =1.故选D.2220000002,222,,2xyxybbyx①②③20x2164b20y24b2164b2244bb24x212y思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面积建立方程组求解.评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.6.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E: - =1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= ,则E的离心率为 ()A. B. C. D.222xa22yb132323答案A解法一:由MF1⊥x轴,可得M ,∴|MF1|= .由sin∠MF2F1= ,可得cos∠MF2F1= = ,又tan∠MF2F1= = ,∴ = ,∴b2= ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2- ac=0⇒e2- e-1=0,∴e= (舍负).故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M ,∴|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a