Radon变换

Radon变换及其应用•主要介绍内容：•Radon变换的定义•Radon变换的基本性质•Radon反变换•Radon变换的应用一、Radon变换的定义•图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理，常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。•正变换：图像空间到其他空间•反变换：其他空间到图像空间•对f(x,y)的Radon变换定义为沿由和定义的直线l的线积分。其用于Radon变换的坐标系如下：),(Rpfp•上述线的积分可以表示为：•Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0，而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单的Delta函数：dlyxfpf),(),(R0,10,0)(xxx•结合直线方程，则Delta函数可以表示为：•即在线l上的点（x，y）满足，其他非l上点的Radon变换可以写为：0sincos,10sincos,0)sincos(yxpyxpyxp1)(x0)(x--)sincos(),(),(Rdxdyyxpyxfpf由于直线l的方程给出，所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积分。注意：并不是定义在极坐标系统中的，而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如下：),(Rpfsincosyxp•Radon变换可以理解为图像在空间的投影，•空间上的每一点对应(x,y)空间中的一条直线。•Radon变换可以用于直线检测，可以针对非二值图像，它的积分运算环节抵消了噪声所引起的亮度起伏。),(p),(p二、Radon变换的基本性质•1、线性•2、相似性•若，则gfbRaRbgafR)sin,cos,(pRbgafRf，•3、对称性•若考虑下面的等式（其中）为与l垂直方向上的单位矢量。)sin,cos,(1,bapRabbyaxfRfsin,costdxdyayaxapyxfatapRf)sincos(),(,•常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：•（放缩性）•若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数tpRaatafRff,,1tpRtpRff,,•4、平移性•给定，则对任意的常数a和b，的Radon变换可以如下计算：sin,cos,,pRyxfRfbyaxf,tbapRbyaxfRf,sincos,•5、微分•这里只考虑，其他结果可以用相同的方法得到。•对上面式子两边取Radon变换，利用平移性质得到：xfeyxfyexfxfe,,coslim0etpRtepRxfRffe,,coslim0•根据偏微分的定义得到ptpRxfRf,cosRadon的反变换•Radon反变换给出从投影重建的解。对Radon反变换的推导可借助傅里叶变换进行。•因为可用的2-D傅里叶反变换表示，写成极坐标形式为：yxf,vu,FdpqpjqtFqdyxf2exp,0•上式中方括号内是的1-D傅里叶反变换。利用傅里叶变换的卷积定理可得：•上式等号右边的第二项等于Radon变换qtFqqtFFqFqtFqF111yxRf,•将的1-D傅里叶反变换表示为：•利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一个反变换表示为：01,,tqRqFdyxffq2sgn2sgn1111jqFqjFqqFqF•利用柯西值，可将上式第2个等号右边的第2个反变换表示为：•所以pjF21-pjqF1212sgn21-ppqF12121•经整理得到Radon反变换：022121,21,ptpRdyxffRadon变换的应用•1、Radon变换在合成孔径雷达（SAR）图像船行尾迹检测的•在Radon空间进行处理后,得到逆变换图像.通过图像后处理,可得到二值图像,以用于尾迹自动检测.对海洋卫星合成孔径雷达(SEASATSAR)图像及模拟乘性斑点噪声中舰船尾迹进行了检测•2、Radon变换在排水线地质雷达探测图像处理中的应用•Radon变换对地下管线雷达资料成像处理非常有用,它能够消除地质雷达资料成像中存在的各种干扰,以得到真实的图像。利用Matlab中的Radon变换模块实现地质雷达图像的Radon变换与反变换。•3、Radon变换的盲图像恢复•所谓盲图像恢复，就是仅从降质图像中将扩展函数（PSF）和原始图像都恢复出来。•在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理，使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研究热点之一。•经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复，但是点扩展函数(PSF)的信息在实际中很难获取或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS...展开在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和变形。•图像恢复的目的就是对退化图像进行处理，使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研究热点之一。经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复，但是点扩展函数(PSF)的信息在实际中很难获取或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验知识的方法在实际中并不可取。实际中，PSF必须作为图像恢复过程的一部分从降质图像中首先估计出来。•其方法为：•首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维Radon域，并在Radon域应用高阶统计量对PSF进行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作为MA过程，使用高阶统计量方法对模型参数进行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF，通过Richardson-Lucy(RL)迭代解卷积算法在Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图像域来求得原图像。