4-4简单曲线的极坐标方程

3、极坐标与直角坐标的互化公式1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,0在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用f(x,y)=0表示。曲线与方程满足：（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。思考：在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程表示？0),(f如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA(,)探究：)1()0,2(),2,0()1.(..........cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点＝即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设＝，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1()1()0,2(),2,0()1.(..........cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点＝即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设＝，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的极坐标方程。叫做曲线那么方程上，的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中CfCffC0),(0),(0),(的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0,(cos2与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）例1.已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重＝即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO特殊位置的圆的极坐标方程的极坐标方程最简单？使圆，怎样建立极坐标系，的半径为：圆问题rO1xr·O)(Pr.))(,(极坐标方程的圆的，圆心坐标为：求半径为问题002aaaOx·),(0aM)(Pcosa2.)(),(的圆的极坐标方程，圆心坐标为：求半径为问题023aaasina2Ox·),(2aM)(P一般的圆的极坐标方程)(Pr00)(00M2002022r)cos(raaraar时，，＝时，，＝时，，＝003222201000000)(sin)(cos)(求圆心在M(0,０)，半径为r圆的极坐标方程。练.在极坐标系中，圆心为(2，π)且过极点的圆的方程为()A．ρ＝22cosθB．ρ＝－22cosθC．ρ＝22sinθD．ρ＝－22sinθB极径的推广负极径“负”的意义是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反a与.a与.Ox(,)M(,)•13若M的坐标为则M的坐标也可以是(,)(,).若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是4，求直线l的极坐标方程。解：如图，以极点O为分界点，直线l上点的极坐标分成射线OM、射线OM两部分。射线OM上任意一点的极角都是4，因此射线OM的极坐标方程是(0);4射线OM上任意一点的极角都是54，因此射线OM的极坐标方程是5(0).4因此直线l的方程可以用4和54表示。xo﹚4l和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R或5()4R例2.求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点(,)M为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有RtMOAcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。两种特殊的直线的极坐标方程.))(,(的直线的极坐标方程且与极轴垂直：求过点问题004aaAOx﹚AMcosa.))(,(的直线的极坐标方程且与极轴平行：求过点问题025aaAOx﹚AMasin.))(,(的直线的极坐标方程且倾斜角为：求过点问题006aaA﹚OMxAsin()sina例3.设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11解：如图，设点(,)M点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知,OMxOM1OP1xOP设直线L与极轴交于点A。则在MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是它的解。方程互化)0(,tan,sincos222xxyyxyx例4.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程.【解】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0.解得x1＝0，y1＝0，x2＝2，y2＝－2.即圆O1，圆O2交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.【名师点评】掌握极坐标方程与直角坐标方程之间的互化是解决本题的关键．1.极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝12的图形是()解析：选B.ρ＝cosθ可以用直角坐标系表示为x2＋y2＝x，即(x－12)2＋y2＝14；ρcosθ＝12可以用直角坐标系表示为：x＝12.2.设点P的极坐标为A，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。(,0)all解：如图，设点(,)M为直线上异于的点l连接OM，﹚oMxp在中有MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程。3.(2,)4A求过点平行于极轴的直线。OHMA)4,2((,)(2,)42sin24sin,sin2(2,)4sin2lMAMHRtOMHMHOMA解：在直线上任意取点在中，＝即所以，过点平行于极轴的直线方程为1.在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为__________.解析：由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3,0)，所求直线标准方程x＝3，则极坐标方程为ρcosθ＝3.答案：ρcosθ＝312.sin()3R极坐标方程表示的曲线是A、两条相交的直线B、两条射线C、一条直线D、一条射线12122sincos3322tan44:240,:240yxlxylxy解：由已知可得所以得即两条直线所以是两条相交直线,故选A.