4-6 2019高三一轮复习课件正弦定理、余弦定理及解三角形

基础诊断考点突破第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础诊断考点突破考试要求1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题，B级要求；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，B级要求．基础诊断考点突破知识梳理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝；b2＝；c2＝b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC基础诊断考点突破常见变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC基础诊断考点突破2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.基础诊断考点突破3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图1)．上方下方基础诊断考点突破(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．基础诊断考点突破诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB．()(3)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()基础诊断考点突破解析(1)三角形中三边之比等于相对的三个内角的正弦值之比．(4)俯角是视线与水平线所构成的角．答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√基础诊断考点突破2．(2016·全国Ⅰ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝________.解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3b＝－13舍去.答案3基础诊断考点突破3．(必修5P10习题4改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________________．解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形基础诊断考点突破4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．基础诊断考点突破解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．答案102基础诊断考点突破5．(2017·淮安质检)已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于________．解析由正弦定理得sinB＝2sinA·cosB，故tanB＝2sinA＝2sinπ3＝3，又B∈(0，π)，所以B＝π3，又A＝π3，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×1×32＝34.答案34基础诊断考点突破考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有________个．(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.基础诊断考点突破解析(1)∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋2bc，∴cosA＝22，∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°，sinB＝12，又B∈(0°，180°)，b＜a，∴B＝30°，∴C＝105°.基础诊断考点突破(3)因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案(1)2(2)45°，30°，105°(3)1基础诊断考点突破规律方法(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．基础诊断考点突破【训练1】(1)(2017·扬州中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝________.(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.基础诊断考点突破解析(1)a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．(2)在△ABC中，由cosA＝45，cosC＝513，可得sinA＝35，sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2113.答案(1)4(2)2113基础诊断考点突破考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【例2】(经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________．解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2.答案直角三角形基础诊断考点突破【迁移探究1】将本例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是________．解析法一由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B.法二由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.答案等腰三角形基础诊断考点突破【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC一定是________．解析在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k0)，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝25k2＋121k2－169k22×5×11k2＝－231100，又∵C∈(0，π)，∴C∈π2，π，∴△ABC为钝角三角形．答案钝角三角形基础诊断考点突破【迁移探究3】将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状．解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.基础诊断考点突破又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，基础诊断考点突破∴sin(A－B)＝0，又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形．基础诊断考点突破规律方法(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.基础诊断考点突破考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．基础诊断考点突破解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC,2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC．由C∈(0，π)知sinC≠0，可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12absinC＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.基础诊断考点突破规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．基础诊断考点突破【训练3】(2017·南通调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.(1)求角C的大小；(2)若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面积．解(1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得(a＋b)2－c2＝ab，进而得a2＋b2－c22ab＝－12，即cosC＝－12.因为0Cπ，所以C＝2π3.基础诊断考点突破(2)法一因为c＝2acosB，由正弦定理得sinC＝2sinAcosB，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)，所以sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又－π3A－Bπ3，所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2.所以△ABC的面积为S△ABC＝12absinC＝12×2×2×sin2π3＝3.基础诊断考点突破法二由c＝2acosB及余弦定理得c＝2a×a2＋c2－b22ac，化简得a＝b＝2，所以△ABC的面积为S△ABC＝12absinC＝12×2×2×sin2π3＝3.基础诊断考点突破考点四正、余弦定理在实际