1.2 平面力系及平衡方程

1.2平面力系及平衡方程一、概述1．力系的的概念力系——作用在同一物体上的一群力（一组力）。2．平面力系及分类平面力系——力系中各力作用在同一个平面内。平面力系又分平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系。图1-36平面汇交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都相互平行，如图1-37所示。图1-37平面平行力系（1）平面汇交力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都汇交于一点，如图1-36所示。图1-38平面一般力系（3）平面一般力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线在平面内任意分布，如图1-38所示。二、平面汇交力系1、力在坐标轴上的投影设力F作用于物体的A点，如图所示。定义：从力F的两端分别向选定的坐标轴x，y作垂线,其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影。若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算：Fx=±FcosαFy=±Fsinα力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2)当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则力F的大小和方向可由下式确定力F的指向和投影Fx和Fy的正负号判定:如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。（力的投影是代数量）。22tanxyyxFFFFF力的投影与分力关系:将力F沿直角坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与力F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即1212......xxxnxxyyynyyRFFFFRFFFF2、合力投影定理3、平面汇交力系合成的解析法22tanyxFFxFyFF4、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力为零。即：总结：例1-6如下图所示重为G=5kN的球放在V型槽内，求槽面对求的约束反力。12;111dFm222dFmdPm11又dPm22'21PPRA2'1PPRB21'21'21)(mmdPdPdPPdRMA合力矩三、平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶dd13平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。niinmmmmM121即01niim结论:平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。[例1-7]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻3个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=13.5N·m，M3=17N·m，求工件的总切削力偶矩。若在A、B两处用螺柱固定，A和B质检的距离L=0.2m，求两个螺柱在该水平面内所受的力?15[练习]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?mN154321mmmmmN60)15(44321mmmmM02.04321mmmmNBN3002.060BNN300BANN解:各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。1、力的平移定理：作用于刚体上某一点A的力可以平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点B的矩.四、平面任意力系(F)F’=F”=F,ABdBAFFBFAF'AFBFF'BAMF'BAMF'(F’,F”,F)(F’,M)(F’,F”,F)(F’,M)FdFMMBB)(思考：1.附加力偶作用面在哪儿？2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F，其作用点到力作用线的距离为:1FmdFR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’FF1nFF32OFn1FF32FFnF'11FF3O2FOnFF'M111FF32FnFF'1M1FO3M2F'2F2F'MO3F'nnMMF'11M2F'23M1MMO3nM2RF'OM0RF'F1’=F1M1=Mo(F1)(F1,F2,F3,…,Fn)(F1’,F2’,F3’,…,Fn’)(M1,M2,M3,…,Mn)(FR’,Mo)F2’=F2M2=Mo(F2)F3’=F3M3=Mo(F3)Fn’=FnMn=Mo(Fn)……力系的主矢Mo=M1+M2+M3+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=∑Mo(Fi)向O点简化的主矩=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi2、平面任意力系的简化结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。即平面任意力系的简化结果：①合力偶MO；②合力(1)简化方法RFFFFFFFFRinino2121汇交力系合力一般力系（任意力系）汇交力系+力偶系向一点简化（未知力系）（已知力系）2222)()('''YXRRRyxXYRRxy11tgtg附加力偶的合力偶矩)()()()(2121ionoooinoFmFmFmFmmmmmM(2)主矢与主矩主矢：指原平面一般力系各力的矢量和。iFiFR即主矢的R解析求法方向：大小：注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。)(iOOFmM转向+–主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和。)(ioFm)(iooFmM即主矩MO正、负规定：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。注意：=(1)FR=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而FR≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力FR就是原力系的合力。(3)FR≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：MOOFROdMoAFR”OdMoAFRFR”FR’=FmFRMd00FR平面力系简化结果的讨论综上所述，可见：(4)FR=0，而MO=0，原力系平衡。⑴平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。⑵平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。3、平面力系的平衡方程00OMR②平面力偶系合力偶矩①平面汇交力系合力所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。（2）平衡方程（1）平衡条件0)(0000'FMMYXFOOR以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。平衡方程的其他形式：二矩式方程0)(0)(0FMFMXBA两矩心的连线与投影轴不垂直三矩式方程0)(0)(0)(FMFMFMCBA三矩心不共线（3）平衡方程的应用求解单个物体的平面力系平衡问题时，一般按如下步骤进行。①选定研究对象，取出分离体；②画受力图；③取适当的投影轴和矩心，列平衡方程并求解。例1-8求下图中铰链A、B处的约束反力。例1-9如下图所示，P=2kN，均布载荷集度q＝1kN/m，不计杆重，求杆在A、B处的约束反力。【习题1】悬臂梁如图1-44所示，梁上作用有均布载荷，载荷集度为q＝10kN/m，在梁的自由端受集中力F＝12kN和力偶矩为M＝6kN·m的力偶作用，梁的长度为L＝1.5m，试求固定端A处的约束反力。图1-44悬臂梁①取梁AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。②列平衡方程。均布载荷的合力Q在均布载荷作用范围的中点（图中不要画出），Q的大小等于载荷集度与均布载荷分布长度的乘积，即Q＝q·L。列平衡方程如下：由∑Fx＝0得NAX＝0①由∑FY＝0得NAy－q·L－F＝0②由∑MA（F）＝0得MA－q·L·L/2－F·L－M＝0③解题步骤③求解未知量由①式得NAX＝0由②式得NAy＝q·L＋F＝10×1.5＋12＝27kN由③式得MA＝q·L·L/2＋FL＋M＝10×1.5×1.5/2＋12×1.5＋6＝35.25kN·m所以，固定端A处的约束反力NAX＝0，NAy＝27kN，MA＝35.25kN·m。【习题2】铣床夹具上的压板AB（图1-45），当拧紧螺母后，螺母对压板的压力F＝4000N，已知L1＝50mm，L2＝75mm，试求压板对工件的压紧力及垫块所受压力。图1-45铣床夹具上的压板分析取压板AB为研究对象，其重力可以忽略不计，压板虽有三个接触点，但其受力构成平面平行力系，并不属于三力构件。解题步骤①取压板AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。②列平衡方程。由平面平行力系平衡方程得：∑FY＝0FNA＋FNB－F＝0①∑MA（F）＝0FNB（L1＋L2)－FL1＝0②③解方程由②式得FNB＝1600N将FNB代入①式得FNA＝F－FNB＝4000－1600＝2400N根据作用与反作用公理，压板对工件的压紧力为2400N，垫块所受压力为1600N。五、平面平行力系的平衡方程b)多矩式附加条件：A、B两点的连线不平行Fi轴00FmFmBAa)基本形式X0Y=0mo(F)=00)(0FmFoxoyABFi