不定积分(高等数学)

积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第四章不定积分1．原函数的定义定义1设()fx是定义在某区间的已知函数，若存在函数()Fx，使得()()Fxfx或d()()dFxfxx,则称()Fx为()fx的一个原函数．（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFC关于原函数的说明：CxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xfCxGxF)()(（为任意常数）C则(3)连续函数一定有原函数.任意常数积分号被积函数2.不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.C称为积分常数,不可丢!即：若则说明:原函数和不定积分的联系1.不定积分是由无限多个原函数组成的集合；2.不定积分＝原函数＋C（任意常数）)()(xfxF()d()fxxFxC（1）的导函数；()()fxFx为（2）的一个原函数；()()Fxfx为（3）的不定积分()()FxCfx为dxxgxf)]()([10dxxgdxxf)()((1)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.dxxkf)(20dxxfk)(（k是常数，)0k3.不定积分的性质)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(（2）性质先积后微形式不变;先微后积差一常数1.已知2(),fxdxxC求().fx2.已知()fxx求().fx3.已知(ln)fxx求().fx4.已知(ln)fxx求().fx4、基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdxln)3(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotdxax)13(Caaxln(14)tanlncosxdxxC(15)cotlnsinxdxxC(16)secln(sectan)xdxxxC(17)cscln(csccot)xdxxxC2211(18)arctanxdxCaaax2211(21)ln2axdxCaaxax221(19)arcsinxdxCaax22221(22)ln()dxxxaCxa2211(20)ln2xadxCxaaxa利用恒等变形、及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质5、直接积分法:6、第一类换元法（凑微分法）定理1设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有换元公式dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）1)()dfaxbx)(dbxaa112)()dnnfxxxnxdn14)(sin)cosdfxxxxsind5)(cos)sindfxxxxcosd常见的凑微分形式13)()2()fxdxfxdxxxxxfdsec)(tan)62xtandxfxxde)(e)7xedxxxfd1)(ln)8xlnd211119)()()fdxfdxxxx2110)(arcsin)(arcsin)arcsin1fxdxfxdxx2111)(arctan)(arctan)arctan1fxdxfxdxx7、第二类换元法(变量替换法)定理设)(tx是单调的、可导的函数，并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，则有换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf其中)(x是)(tx的反函数.第二类换元公式(4),nx,nxt令＝有nxtnbaxtbaxn令1(5).xt倒置代换令一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax8、分部积分法分部积分公式dxvuuvdxvuduvuvudv反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数选择u的有效方法:反对幂指三,哪个在前哪个选作u.（1）幂函数与三角函数的乘积必须用分部积分法积分的被积函数的类型：（2）幂函数与指数函数的乘积（3）幂函数与对数函数的乘积（4）幂函数与反三角函数的乘积（5）三角函数与指数函数的乘积sinxxdx2cosxxdx2sin3xxdxsincosxxxdxsincos3xxxdxxxedx2xxedx2xxedxxxedxlnxdx3lnxxdxlnxxdxarcsinxxdx2arctanxxdxarcsinxdxarctanxdxsinxexdxcosxexdx2cos3xexdxcosxexdx(3)简单无理式的积分.(“谁妨碍我就把谁换掉”：做根式代换)(1)有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）(2)三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.一般真分式的积分方法：（1）将分母)(xQ分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积．（2）把该真分式按分母的因式，分解成若干简单分式（称为部分分式）之和．（3）简单分式的积分.221d2d3d40.nAAxxxaxaAxBxpqxpxq；；有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:真分式化为部分分式之和的待定系数法令2tanxu212sinuux2211cosuuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12（2）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR（万能置换公式）（3）简单无理函数的积分讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR解决方法：作代换去掉根号．;necxbaxt令;nbaxt令xe例1.函数为（）的一个原函数。xxeex解：＝（）2xex=.()ln()fxxfx例2若函数的一个原函数为，求。()fx解：由于(ln)x1x()fx所以1x21x例3.求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例5.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1.lnarctanCxx例4.求例6.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313例7求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdx1ln12ln.2xC例8求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12.34arctan31Cx例9计算积分．2dxxxarcsin21xC解二因为,d2dxxx所以.arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx解一：22dd1142xxxxx12arcsin12xCxxxxxxxxd44d3d43222224d4212arcsin3xxx.42arcsin32Cxx；xxxd432例10.求解:例11.求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12.求解.2cos3cosxdxx1coscos[cos()cos()],2ABABAB),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx1sincos[sin()sin()],2ABABAB1sinsin[cos()cos()],2ABABAB积化和差公式:2cos2xdx1cos2xdx2cos2xdx例13：求11cos22dxxdx11sin22xxC解：234coscoscosxdxxdxxdx例14求解.423dxxx令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxx例15.求积分.arctanxdxx解xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx2arctan2xxd例16求积分.sinxdxex解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinsinxexdx移项化简得.)cos(sin2Cxxex注意循环形式例17.已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.解dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2Cedxxfx两边同时对求导,得x,2)(2xxexfdxxfx)(dxxfxxf)()(222xex.2Cex依题意可知：例18.求xxxd1313.解令,133tx即,1313tx则ttxdd2代入后，得3411d2d331xxtttx5233113131.153xxC5