不定积分-基础知识

第四章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束原函数与不定积分的概念第四章一、原函数与不定积分的概念例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,tmAsin的原函数有,costmA,3costmA(P213)问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.（P213）(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动目录上页下页返回结束即(P213）定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P214)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,xexdCexxxd2Cx331xxdsinCxcos记作机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:（P215）的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x机动目录上页下页返回结束的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xy机动目录上页下页返回结束yxo)2,1(ox例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,)0(0xx)(txx质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻先由此求)(tv再由此求)(tx先求由知ttvd)()(g1Ctg,)0(0vv由,01vC得0)(vttvg再求tvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0xx由,02xC得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由知机动目录上页下页返回结束故ox)0(0xx)(txxxdd)1(xxfd)()(xf二、基本积分表(P216)从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x机动目录上页下页返回结束)1(])ln([)ln(xxx121d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot机动目录上页下页返回结束xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cxshxxdsh)14(2chxxeex机动目录上页下页返回结束例3.求解:原式=xxd34134Cx313例4.求解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC机动目录上页下页返回结束三、不定积分的线性性质（P217）xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论:若则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k机动目录上页下页返回结束例5.求解:原式=xexxd)25)2[()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动目录上页下页返回结束例6.（P218）求解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例7.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCxln机动目录上页下页返回结束例8.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313机动目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P216)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束思考与练习1.证明2.若d)(ln2xxfx(P191题4)提示:xexeln)(lnxfx1Cx221机动目录上页下页返回结束提示:3.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动目录上页下页返回结束4.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动目录上页下页返回结束5.求下列积分:提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动目录上页下页返回结束6.求不定积分解：)1(2xxee机动目录上页下页返回结束7.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动目录上页下页返回结束