不定积分

1第五章不定积分2本章开始,我们学习一元函数积分学.它研究的是函数微分运算的逆运算问题.在微分学中,我们研究的问题是：(),()d()()d.fxfxfxfxx已知求或在积分学中,我们要研究的问题是：(())(),().FxfxFx已知求—函数的微分运算—函数的积分运算不定积分是微分运算的逆运算,也称为反导数.3例如(sin)cos(,)xxx，，第一节不定积分的概念一、原函数设(),()Fxfx是定义在I上的两个函数,且满足定义本章所介绍的内容就是寻求函数的原函数的方法.则称F(x)为f(x)在I内的一个原函数.()()Fxfxd()()dFxfxx或.xIsincos(,)xx是在上的一个原函数.(e)e(,)xxx，，ex是其本身的一个原函数.由微分学知识可知,()Fx若可导，()().Fxfx则其导函数是唯一的（导数本质是极限值,而极限是唯一的）问题1：()fx若存在原函数，原函数唯一吗？不唯一(sin)cosxx，(sin+1)xcosx(sin+2)cos,xx问题2：(sin+)cos,()xCxC为常数()fx的原函数有多少个？这些原函数之间有什么关系？无穷个5)()(])()([xFxGxFxG0)()(xfxf（1）若)(xF是)(xf的一个原函数,则对任何常数C,（2）设)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的任一个原函综合(1)(2)可知,如果)(xf有一个原函数)(xF,说明：0()().GxFxC所以CxF)(也是)(xf的一个原函数；数)(xG与)(xF最多相差一个常数,即0()()GxFxC.则CxF)(是)(xf的全体原函数的一般表达式.6原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题3：那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.因此初等函数在其定义域内都有原函数.(但原函数不一定是初等函数)函数满足什么条件，才存在原函数？7积分变量二、不定积分的概念积分常数积分号被积函数CxFxxf)(d)(CxF)(为)(xf的不定积分,记作()d.fxx即.)()d(CxFxxf定义设)(xF是)(xf的一个原函数,则称其全体原函数被积表达式注意：f积分号“”不要写成“”8例1求5d.x解(5)5,x5d5.xxC解例2求.d112xx,11)(arctan2xx.arctand112Cxxx一般地,d.kxkxC(0)k为常数0dx.C(0d0)x9，若1例3求解.dxx1d.1xxxCxxd1Cx211211xxd12Cx1xxd21Cx2xxd1Cx2xxd12Cx1xxxd2xxd25Cx125125.7227Cx11xx例如10dd=xxxx则，,0x若xx1)(ln)(1xx.)ln(dCxxx,1x解，若1])[ln(x;lnd1Cxxx例3求.dxx,0x若综上.||lnd1Cxxx11xyoxxxfd2)(,2Cx,1C得.12xy所求曲线方程为，代入将2,1yx解例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为),(xfy根据题意知,2ddxxy即)(xf是x2的一个原函数.(1,2)函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.12xxgxfd)]()([)1(xxgxxfd)(d)(证]d)(d)([xxgxxf,)()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）]d)([]d)([xxgxxfxxkfd)()2(.d)(xxfk（k是常数，)0k三、不定积分的性质13由不定积分的定义，可知[()d]fxxd[()d]fxx()dFxx.)()(dCxFxF微分运算与不定积分运算是互逆的.或或(),fx()d;fxx(),FxC四、基本积分公式由P100页上的微分公式,直接可得基本积分公式.dsincosdxxxcosddsinxxxsin.xC即cosdsin.xxxC例如dd()xaxdd()lnxxaaxa.lnxaCa即d.lnxxaaxCalnxaa2secdxxdtanx2secddtanxxxtanxC2secdtan.xxxC即特别地ede.xxxC21d1xxdarcsinxarcsin.xCcsccotdxxxd(csc)xcsc.xC15Ckxxkd)1((k是常数))1(1d)2(1CxxxCxxx||lnd)3(xxde特别，Cxexaxd)4(Caaxlnxxdcos)5(Cxsinxxdsin)6(Cxcosxxd1Cx2xxd12Cx1四、基本积分公式（人人必须熟记）17xx2cosd)7(xxdsec2Cxtanxx2sind)8(xxdcsc2Cxcotxxd11)12(2)cotarc(arctanCxCx或xxd11)11(2)arccos(arcsinCxCx或xxxdtansec)9(Cxsecxxxdcotcsc)10(Cxcsc四、基本积分公式（人人必须熟记）19例5求下列不定积分32(1)(421)d;xxxx(2)(sin2cos3)d;xxxx解12324d2dddxxxxxxx原式41=44x3123x1121112xxC343222.33xxxxC解sind2cosd3dxxxxxx原式cosx2sinx3.ln3xC20例5求下列不定积分22113(3)(sectan)d;cos1xxxxxx(4)e(3esin)d;xxxx2(1)(6)d;xxx(5)2ed;xxxcsccot(7)d;sinxxxx21例5求下列不定积分22113(3)(sectan)d;cos1xxxxxx解2211dd3secdsectand1xxxxxxxxx原式=ln+arcsin3tansc|.|exxxxC(4)e(3esin)d;xxxx解e(3esin)d3edsindxxxxxxxx3ecos.xxC勿丢22例5求下列不定积分2(1)(6)d;xxx(5)2ed;xxxcsccot(7)d;sinxxxx解(5)2ed(2e)dxxxxx(2e)ln2exC2e.ln21xxC22(1)(21)(6)ddxxxxxxx311222d2ddxxxxxx5322242.53xxxC2csccot(7)dcscdcotcscdsinxxxxxxxxxcotcsc.xxC23例6求下列不定积分222(1)12(2)d;1xxxxxx221(3)d;(1)xxx42(4)d;1xxx221(1)d;(1)xxxxx24例6求下列不定积分222(1)12(2)d;1xxxxxx221(1)d;(1)xxxxx解221(1)d(1)xxxxx22(1)d(1)xxxxx211dd1xxxxarctanln||.xxC22(1)2=dd1xxxxx(2)原式212=ddd1xxxxxx21ln||2arcsin.2xxxC25例6求下列不定积分221(3)d;(1)xxx42(4)d;1xxx解221(3)d(1)xxx2211dd1xxxx1arctan.xCx42(4)d1xxx22221d(1)xxxxx4211d1xxx42211dd11xxxxx221(1)dd1xxxx3arctan.3xxxC代数恒等变形不定积分运算中,除了会用到加减常数、加减函数乘除常数、乘除函数等代数恒等变形技巧外,还经常利用三角公式将被积表达式进行恒等变形.常用的三角公式1、二倍角公式sin22sincosxxx2222cos2cossin12sin2cos1xxxxx2、三角恒等式22sincos1xx221tansecxx221cotcscxx26例7求下列不定积分sin2(1)d;cosxxx2(3)tand;xxcos2(2)d;cossinxxxx解sin22sincos(1)ddcoscosxxxxxxx2sindxx2cos.xC22cos2cossin(2)ddcossincossinxxxxxxxxx(cossin)dxxxsincos.xxC22(3)tand(sec1)dxxxxtan.xxC27例7求下列不定积分221(4)d;cossinxxx解2222221sincos(4)ddcossincossinxxxxxxxx22secdcscdxxxx21cos(5)cosdd22xxxx22tantan(6)ddcoscossin22xxxxxxx2(5)cosd;2xxtancot.xxC29sin.22xxC22tan(6)d;cossin22xxxxtansecdxxxsec.xC例7求下列不定积分1cos(7)d;1cos2xxx1(8)d;1sinxx30解21cos1cos(7)dd1cos22sinxxxxxx211cscdcsccotd22xxxxx11cotcsc.22xxC1(8)d1sinxx1sind(1sin)(1sin)xxxx21sindcosxxx2secdsectandxxxxxtansec.xxC31作业：15921,3,4,7,9,13,14,16,17,18,20,3P（）