不定积分2换元法

§5.4换元积分法二、第二类换元法一、第一类换元法§5.4换元积分法换元法的基本思路设,)()(ufuF可导,则有CxF)]([)]([dxFxxxfd)()]([)(d)(xuuuf定理1.,)(有原函数设uf可导，)(xu公式uufd)()(xu)(d))((xxf即xxxfd)()]([（一）第一类换元法(也称配元法或凑微分法)则有换元xxxd322求不定积分例,32xu,d2dxxu解令则uuxxxd21d3212代入得再将32xuCxxxx2322)3(31d3Cu2331xexxd32求不定积分xexxd2解：)(d2122xexCex221例4.求（公式）解:xxxdcossinxxcoscosdCxcoslnxxxsindcosxxsinsind类似地)()0(d1522公式求不定积分axxaxxad122解xxaxaad)11(21xxaaxxaad121d121Cxaaxaaln21ln21Cxaxaaln21xaxaaxaxaa)(d21)(d21)(dcsc6公式求不定积分xx(利用例5的结论)xxxxdsin1dcscxxxdsinsin2xx2cos1)(cosdCxxcos1cos1ln21Cxxsincos1lnCxxcotcscln解:)(tanseclndsec公式Cxxxx类似地以下是补充例题例1.求解:)(d)(baxbxama1Cbaxmam1)()1(11例2.求（公式）22)(1d1axxa解:2)(1)(d1axaxaCaxa)arctan(1解:2)(1daxax2)(1)(daxax（公式）Caxarcsin例3求例4求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(daxax)(d（公式）a21axlnaxlnCCaxaxaln21xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx例5.求例6.求.dsec6xx解:原式=xxxdsec)1(tan222xtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例7.求.1dxex解xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(d例8求解:原式=xexxxxd)1()1(xexe,)1()(dxxxexxexe)1(duuuxxeuuuud)111(uud1)d(111uuCuu1lnCxexexx1ln例9.求)2cos2cos21(412xx解:224)(coscosxx2)22cos1(x)24cos12cos21(41xx)4cos212cos223(41xxxxdcos4xxxd)4cos212cos223(41xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx例10.求解:xx3cossin222)]2sin4(sin21[xxxxxx2sin412sin4sin2414sin4122)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x∴原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin212xx)4d(4cos321xx2)3cos(sinxx第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(（二）第二类换元法在第一类换元法中，用新变量u代替被积函数中的可微函数),(x从而使不定积分容易计算；而在第二类换元法中，则是引入新变量t，将x表示为t的一个连续函数),(tx从而简化积分计算.具体做法：，且0)(tCtF)(是单调的可微函数，设)(tx且连续，xxfd)(tttfd)()]([且则xxfd)(CxF)]([1定理2.设)(tx是单调可导函数,且具有原函数,则有换元公式.)()(1的反函数是其中txxt例7求不定积分3dxxx解：令,0,3txt即,32tx.d2dttx3dxxx于是ttttd232ttd)3(22Ctt33233xt再将回代，整理后得3dxxxCxx)3()6(32例8求不定积分32dxxx解：令,6xt则,6tx.d6d5ttx32dxxxttttd6435tttd162tttd11162ttd116ttd)1(6Cttt1ln6632Cxxx1ln66366131例9求不定积分xex1d解：令,1xet则,12tex.d12d2tttx),1ln(2tx所以xex1dttd122.)0(d22axxa解:令,]2,2[,sinttax则taaxa22222sin,costattaxdcosd例10.求∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttaxarcsinCxax222122atttcossin22(sin2ax)22axa解:令,),(,tan22ttax则22222tanataax,sectattaxdsecd2例11.求∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCtt)ln(1aCC例12.求解:,时当ax令,)2,0(,secttax则22222secataax,tantaxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt1lnC)ln(1aCC22axaxa,时当ax令,ux,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC通过上面的例子，可总结出利用第二换元法求不定积分的一些规律：当被积函数含有根式时，可作如下变换：时，令）含有（221xa当被积函数含有，22xa;sintax时，）含有（222ax;tantax令时，）含有（223ax.sectax令时，22ax为了便于查找，减少重复计算，现将上述常用的公式集中列在下面.2.常用基本积分公式的补充解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC例14.求解:223)2()2(d21xxICxx942ln212例13.求例15.求解:原式=22)()()(d21x2521x例16.求解:原式xxee21dCexarcsin例17求解:原式1)1()1()1(d23xxx令tx11ttttd)1(12132tttd122tttd11)1(22ttd12ttd112tttarcsin211212CtarcsinCxxxx11arcsin21)1(22122