不定积分与定积分

上页下页铃结束返回首页补充例题xx22xxee2242已知,求xxf2？xf已知,求dxedyx24？xfy一、原函数上页下页铃结束返回首页补充例题xx22x2是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数xx252xx282x2+5也是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数x2+8也是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数原函数定义:设F(x)和f(x)在某区间上有定义,如果在该区间上任一点x都有则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.F’(x)＝f(x)或dF(x)＝f(x)dx上页下页铃结束返回首页补充例题xx22xx252xx282x2+c是2x的原函数.2x的原函数有无穷多个.原函数定义:设F(x)和f(x)在某区间上有定义,如果在该区间上任一点x都有则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.F’(x)＝f(x)或dF(x)＝f(x)dx上页下页铃结束返回首页补充例题一、原函数如果f(x)有一个原函数F(x),则F(x)+c也一定是其原函数.一个函数的任意两个原函数只差一个常数.xx22xx252xx282x2+c是2x的原函数.2x的原函数有无穷多个.上页下页铃结束返回首页补充例题定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作dxxf积分号被积函数积分变量被积表达式如果F(x)是f(x)的一个原函数,则cxFdxxf积分常数xx22cxxdx22因x2是2x的一个原函数二、不定积分上页下页铃结束返回首页补充例题定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作dxxf如果F(x)是f(x)的一个原函数,则cxFdxxfxxee2242cedxexx2224因2e2x是4e2x的一个原函数二、不定积分上页下页铃结束返回首页补充例题定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作dxxf如果F(x)是f(x)的一个原函数,则cxFdxxf求dxx211211xxarctan因是的一个原函数211xxarctancxarctandxx211求不定积分是微分的逆运算二、不定积分上页下页铃结束返回首页补充例题若F(x)是f(x)一个原函数,则y＝F(x)为f(x)的一条积分曲线.oxyoxyxy＝F(x)y＝F(x)+cf(x)的不定积分的几何意义就表示积分曲线族.12xycxy2求通过点(1,2),斜率为2x的曲线.设所求曲线为y＝F(x)xxFy2xx22cxxdxy22c21212xy三、不定积分的几何意义上页下页铃结束返回首页补充例题1dx1xedxexxdxcscd2xdxcsc2dxxd1dxx1上页下页铃结束返回首页补充例题1)不定积分与微分互为逆运算.注意:先积分后微分,两者作用相互抵消;先微分后积分,两者作用抵消后再加任一常数.xfdxxfcxfdxxfcxfxdfdxxfdxxfdxxf22xfcxdxxf2xdxxf2cxdxxf2cxxdf2xdxdxxfd2四、不定积分的性质上页下页铃结束返回首页补充例题五、求不定积分的基本方法1.直接积分法(用基本积分公式)324sin1sinxdxx214sinsinxdxx4coscotxxC211xxdxx3544xxdx7144447xxC4432xxdxx223xxdxx511dxxx41ln4xCx上页下页铃结束返回首页补充例题基本积分公式cdx0cxdxx111cxlndxx1calnadxaxxcedxexxcxsinxdxcoscxcosxdxsincxtanxdxsecdxxcos221cxcotxdxcscdxxsin221cxarcsindxx211cxarctandxx211上页下页铃结束返回首页补充例题2.凑微分法fxxdxfxdxFxC11dxxx121dxx2121dxx2sectanxdxx1tantandxxlntanxC211xxxeedxe2arctanxC22211xxxxeedxdxee2221111211xxxxdedeee上页下页铃结束返回首页补充例题常见的凑微分形式：baxdaaxdadx11baxdaxdxdx222121xsinadaxsindxdxcos1xcosadaxcosdxdxsin1axlndxlnddxx1xddxx21axaxedadxe1xddxx112.凑微分法上页下页铃结束返回首页补充例题求31xxdxnbax若被积函数中含有tbaxn可令,以消去根式.66txtx，令dttdx,tx,tx52336ctarctant6cxarctanx6662216tdtt3.换元法上页下页铃结束返回首页补充例题求dxxa22tdtcosatdtcosatcosa22xatcostsin22221以消去根式利用tsinax令tdtcosadxtcosaxa22ctsintadttcosa221222122ctcostsinata2222axt22xacxaxaxarcsina22222上页下页铃结束返回首页补充例题求axdx22tdtsecdttsecatseca2axtsecttan22221以消去根式利用ttanax令tdtsecadx2tsecaax22cttantseclnaxt22axcaaxaxln22上页下页铃结束返回首页补充例题被积函数含有22xa被积函数含有22ax被积函数含有22ax利用tcostsin221tsinax令利用tsecttan221ttanax令利用ttantsec221tsecax令换元法总结上页下页铃结束返回首页补充例题设u＝u(x)及v＝v(x)具有连续的导数,uvuvuvuvuvuvvduuvudv求lnxxdx21ln2xdx4.分部积分法22111ln22xxxdxx221ln24xxxC上页下页铃结束返回首页补充例题4.分部积分法求2arcsinxdxvduuvudv221arcsin2arcsin1xxxxdxx2221arcsinarcsin11xxxdxx22arcsin2arcsin1xxxdx22arcsin21arcsin2xxxxdx22arcsin21arcsin2xxxxxC上页下页铃结束返回首页补充例题4.分部积分法求sin2xexdxvduuvudvsin2xxdesin22cos2xxexexdxsin22cos2xxexxdesin22cos22sin2xxxexexexdxsin22cos24sin2xxxexexexdx5sin2sin22cos2xxxexdxexex12sin2sin2cos255xxxexdxexexC上页下页铃结束返回首页补充例题分部积分法总结dxexaxnaxaxnedadxedv,xu1令xdxsineaxxcosdxdxsindv,euax令xdxcoseaxxsindxdxcosdv,euax令lnnkxxdxdxarctanxn111nnxdndxxdv,xarctanu令11ln,1knnuxdvxdxdxn令上页下页铃结束返回首页补充例题5.三角函数有理式积分法45sincosxxdx44sincossinxxdx242sin1cossinxxdx468sin2sinsinsinxxdx579121sinsinsin579xxC22sincosxxdx1cos21cos222xxdx211cos24xdx11cos4142xdx1sin4832xxC上页下页铃结束返回首页补充例题三角函数有理式积分法总结sincos,mnxxdx其中m,n至少有一个是奇数时,总是在奇次幂中提出一个一次式与dx凑微分.其中m,n都是偶数时,用倍角公式降幂.sincos,mxnxdx用和差化积公式化成的sin和cos一次式.上页下页铃结束返回首页补充例题6.有理函数积分法21613dxxx2134dxx211322312xdx13arctan22xC2168dxxx124dxxx111242dxxx1ln4n22xlxC上页下页铃结束返回首页补充例题6.有理函数积分法229613xdxxx22615613xdxxx222613115613613dxxdxxxxx有理函数积分法总结:21dxxpxq裂项240pq240pq配方2MxNdxxpxq2222MMpxpNdxxpxq222122dxpxqMMpNdxxpxqxpxq上页下页铃结束返回首页补充例题曲边梯形的面积.连续曲线y＝f(x),直线x＝a,x＝b及x轴所围成的图形面积S一、定积分的定义和几何意义xyoabxfysbaSfxdx上页下页铃结束返回首页补充例题,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba1A2A3A4Aab一、定积分的定义和几何意义上页下页铃结束返回首页补充例题二、定积分的性质性质1(数乘性):babadxxfkdxxkf性质2(线性性)bababadxxgdxxfdxxgxf性质3(可加性)bccabadxxfdxxfdxxfxyoacbxfy上页下页铃结束返回首页补充例题性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则babadxxgdxxfxyoabxfyxgy上页下页铃结束返回首页补充例题性质6(估值定理):设M,m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则abMdxxfabmba性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则babadxxgdxxfxyoabmMxfy上页下页铃结束返回首页补充例题性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则babadxxgdxxf比较积分与10xdx10ln(1)xdx因为0x1时,有xln(