7-5曲面方程及其方程

第五节一、曲面方程的概念二、几种常见的曲面及其方程曲面及其方程第七章一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解设轨迹上的动点为轨迹方程.,BMAM则),,,(zyxM222)3()2()1(zyx222)4()1()2(zyx.07262zyx1.定义0),,(zyxFSzyxo如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：例1故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹xyzoM0M表示上(下)球面.求动点到定点Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx),,(0000zyxM),,(zyxM222yxRz例2解配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.表示怎样研究方程042222yxzyx(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).2.两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程0AxByCzD2.球面2222000()()()xxyyzzR3.旋转曲面1.平面3.旋转曲面(1)定义一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．,),,(zyxM122yyxd如图，代入221,yxyzz将0),(1zyf(2)转轴为坐标轴的旋转曲面方程的特征：xyzo(,)00fyzxdM),,0(11zyM轴的平面作垂直于过点zM1轴的距离到点zM2,0),(22zyxf即为yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.得旋转曲面的方程：由此可见：绕z轴旋转，z坐标不动，将.22yxy换成同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0),(22zxyf绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：出现某两变量的平方和.(3)常见的旋转曲面①圆柱面：222ayx直线：绕轴旋转而成.0yaCzxyzoxo②圆锥面直线L绕另一条与其相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点,叫圆锥面的半顶角.)2两直线的夹角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．(0yoz面上直线:0cotxyz绕z轴旋转一周所得的圆锥面方程：cot22yxz.22yxbzxyzo，则令cotb绕x轴旋转而成的曲面:122222czyax122222czayx双叶双曲面单叶双曲面绕z轴旋转而成的曲面：zyxozyxoo③旋转双曲面012222yczax双曲线122222czyax双叶双曲面122222czayx单叶双曲面.2101旋转曲面方程轴旋转而成的绕求直线zzyx解例3,),,(zyxM过点M作垂直于z轴的平面，它与所给直线L的交点为),,,1(11zyM.211zy则PMdMP10102122yyx即故所求旋转曲面方程为:.141222zyx旋转单叶双曲面dPxyzO),,1(1zyM),,(zyxML注一般地，旋转单叶双曲面122222czayx还可成是由直线czayax0或czayax0绕z轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.xyzO④旋转椭球面绕y轴旋转而成的曲面：122222byazx012222zbyax椭圆椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面0p⑤旋转抛物面抛物线022xpzypzyx222绕z轴旋转而成的曲面：——旋转抛物面xzyo(1)定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.4.柱面xyzo注柱面的准线不惟一.o准线C准线C'母线L(2)母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量(该坐标轴的变量)如：(,)0Fxy表示母线//z轴的柱面.事实上，(,,)Mxyz过点M作垂直于xoy面的垂线，(,)0.Fxy则此垂线与C的交点M1(x,y,0)的坐标必满足：反之，不在上的点M，其在xoy面上的投影点M1不在C上，从而其坐标不满足该方程.xyzoo准线C：母线L(,)00Fxyz曲面•M•M1类似地，(,)0:Gyz表示母线//x轴的柱面.表示母线//y轴的柱面.(,)0:Hzx只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.小结：（其他类推）(3)常见的二次柱面①椭圆柱面22221xzac母线//轴yxyzoo②双曲柱面12222byaxz母线//轴xyzoo③抛物柱面22(0)xpypz母线//轴xy特殊柱面：平面xyzoxyzo内容小结1.空间曲面三元方程0),,(zyxF2.球面2202020)()()(Rzzyyxx3.旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf4.柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.(旋转曲面的概念及求法).(母线、准线).1.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy思考题解平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程2.r直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.解在L上任取一点设M(x,y,z)为M0绕z轴旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有z22yx旋转曲面方程1222zyxr将y0=z代入第二方程，得备用题例1-1求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0MMMO根据题意有,21432222222zyxzyx.9116)34()1()32(222zyx所求方程为方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz根据题意有1z用平面cz去截图形得圆：)1(1)2()1(22ccyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆.圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．解例2-1zxyoc