7-7 多元函数的极值及其求法

第7章多元函数微分学7.7函数的极值及其求法一、二元函数的极值二、二元函数的最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结思考题7.7多元函数的极值及其求法某商店卖两种品子的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x元，外地品牌的每瓶卖y元，则每天可卖出本地品牌的果汁瓶，外地品牌的果汁瓶.yx4570yx7680问题的提出问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益？每天的收益为),(yxf求最大收益即为求二元函数的最大值.)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx问题的分析本节我们讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题.一、二元函数的极值的图形观察二元函数22yxexyz播放.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数称就均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数称就均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf复习：一元函数极值定义1.二元函数极值(extremevalue)定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有；极大值极小值极大值、极小值统称为。使函数取得极值的点称为。极值极值点极大值、极小值统称为。使函数取得极值的点称为。极值极值点(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz复习：一元函数极值的必要条件设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2.二元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点(具有偏导数的函数的点)问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，注意：又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．（证明详见同济六下P122）例4.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组BC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.例5求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,解''1212xyxzzyzz,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzACB,函数在P有极值.将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.二、二元函数的最值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：例6求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,其中就是可能的极值点的坐标.xy,,xy,例7某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)及报纸广告费用2x(万元)及报纸费用万元之间的关系有如下的经验公式：222121211028321415xxxxxxR(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.解：利润函数)1(22212121211028311315)(xxxxxxxxRL03120801384212211xxxLxxxL由)(25.1)(75.021万元，万元解得xx20,8,4212212212xLCxxLBxLA又,04,01680642AACB且：它为最大点由问题的实际意义可知为极大值点，故点)25.1,75.0(.25.175.0万元作报纸广告用万元作电台广告，用即此时最优广告策略是做拉格朗日函数)2()5.1(),(),,(212121xxxxLxxF)5.1(10283113152122212121xxxxxxxx5.10208310481321212121xxxxxFxxxF由5.1,021xx解得.5.1，可使利润最大万元全部用于报纸广告即广告费例8设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x,y(吨)间的关系式yxyxS2005.0),(，现准备向银行贷款150万元购原料，已知A,B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?解yxyxS2005.0),(按题意，即求函数下的最大值在条件1502yx作拉格朗日函数)1502(005.0),,(2yxyxyxF0150202005.0001.02yxxxFxyxF由25,100yx解得.12502510012525100005.0)25,100()25,100(2吨值大吨，可使生产量达到最原料吨，原料即购进吨，为最大值，最大值大值一定存在，故驻点因仅有一个驻点，且最BAS拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.拉格朗日乘数法的推广多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结思考题若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？思考题解答不是.例如22),(yxyxf,当0x时，2),0(yyf在)0,0(取极大值;当0y时，2)0,(xxf在)0,0(取极小值;但22),(yxyxf在)0,0(不取极值.