2-2多维随机变量及其分布2,边缘分布

第二节多维随机变量及其分布(2)一、边缘分布函数第二章三、连续型随机变量的边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布律四、内容小结一、边缘分布函数,},{),(yYxXPyxF},{)(xXPxF}{xXP},{YxXP),(xF)(xFX.),(的边缘分布函数关于XYX?,,),(:的分布如何确定的分布已知YXYX问题}{},{),()(yYPyYXPyFyFY为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数..),(),,(},{}{,},{),(,),(),(的边缘分布函数关于为随机变量称令则的分布函数为随机变量设XYXxFYxXPxXPyyYxXPyxFYXyxF).,()(xFxFX记为定义,x同理令.),(),2,1(),2,1(,,2,1},{,,2,1},{.,2,1,,},{),(11的边缘分布律和关于关于为和分别称记分布律为的联合设二维离散型随机变量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji定义二、离散型随机变量的边缘分布律;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21,),()(1xxjijXipxFxF.),()(1yyiijYjpyFyF因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为已知下列分布律求其边缘分布律.例1XY1049164912491249910XY1042124212421242610}{iixXPp}{jjyYPp注意：联合分布边缘分布解747317473参见上页数据解1098765432112232424340111121112...)(,)(.10,,3,2,1并求边缘分布律的联合分布律和试写出的素数的个数是能整除的正整数的个数是能整除设一个值十个值中取等可能地在一整数FDNNFFNNDDN:布律的联合分布律与边缘分和由此得FD样本点DF例243211010000104102101000102DF}{jFP10110710210110410210310121098765432112232424340111121112样本点DFD(N):能整除N的正整数个数F(N):能整除N的素数个数Dkp4321101104102103Fkp210101107102或将边缘分布律表示为.),(,d),()(,d]d),([),()(),,(),,(的边缘概率密度关于称其为随机变量记由于密度为设它的概率对于连续型随机变量XYXyyxpxpxyyxpxFxFyxpYXXxX定义三、连续型随机变量的边缘分布,d]d),([),()(yYyxyxpyFyF同理可得Y的边缘分布函数.d),()(xyxpypYY的边缘概率密度.).(),(.,,,),(ypxpxyxyxpYXYX求边缘概率密度其它具有联合概率密度和设随机变量062解yyxpxpXd),()(,10时当xyyxpxpXd),()(xxy2d6例3xy2xyOxy)1,1(1x).(62xx,10时或当xxyyxpxpXd),()(.,0,10),(6)(2其它因而得xxxxpXxy2xyOxy)1,1(1xx.0d0y,10时当yxyxpypYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxPyPY.,0,10),(6)(其它得yyyyPYyyyyx)(6d6).(6yyxy2xyOxy)1,1(1y的概率密度为设二维随机变量),(YX22222121212122212121121σμyσσμyμxρσμxρρσσyxp)())(()()(exp),(.的边缘概率密度试求二维正态随机变量),(yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中例4解,d),()(yyxpxpX由于21212222))((2)(σσμyμxρσμy,)(2121221122σμxρσμxρσμy于是,dπ21)(2112222121)1(212)(2121yeeρσσxpσμxρσμyρσμxX,1111222σμxρσμyρt令则有,d21)(22)(122121teeσxptσμxX.,π21)(21212)(1xeσxpσμxX即同理可得.,π21)(22222)(2yeσypσμxY注.，则即若),,,,(~),(222121NYX).,(~),,(~222211NYNX二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.ρ并且都不依赖于参数上述推导表明：但反之呢？请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答),sinsin(),(),(yxeyxpYXyx1π21222的联合密度函数为令.π21)(,π21)(,),(,2222yYxXeypexpYX但是不服从正态分布显然因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布..d]d),([),()(xXxyyxpxFxF.d),()(yyxpxpX联合分布边缘分布.d]d),([),()(yYyxyxpyFxF.d),()(xyxpypY四、内容小结备份题例2-1解.221，，标有数字设袋中有三个球，分别放回袋中，再从从袋中任取一球后，不.),(.的边缘分布律的数字，求第二次取得的球上所标分别表示第一，，以袋中任取一球YXYXXY12120313131ip3132jp31321:),(的边缘分布律关于XYXX12ip3132:),(的边缘分布律关于YYXY12jp3132解yyxpxpXd),()(yexydyyxpxpXd),()(.xe,0时当x.0.,,,)(其它故00xexpxX}.{)();()(.,,,),(~),(12100YXPxpyxeyxpYXXy求其它设例3-1,0时当x}1{)2(YXPxxyyedx1210dxeexxd][)1(210.21211eeyxyxpyxdd),(1xyOxyxy121