二倍角的三角函数(二)

§3二倍角的三角函数（二）1.:两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan2.二倍角公式22222sin22sincos;cos2cossin12sin2cos12tantan21tan这些公式是否还有其他的变形，请进入本节课的学习！1.能够由倍角公式推导出半角公式.（重点）2.能较熟练地运用半角公式进行化简、求值、证明,了解公式的各种变形，并能够熟练应用.（重点）3.能够运用半角公式解决一些实际问题.（难点）1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cos.sin例1利用二倍角公式证明：2222cos212sincos22cos1cos12sin;22cos2cos1;21cossin;221coscos;22在二倍角公式中，用代替得由此证明得αααα1costan.21cos用上面两个公式两边分别相除，可得：sinsin2cossin222tan21coscoscos2cos222sinsin2sin1cos222tan.2sincoscos2sin222；又根据正切函数的定义，可得：这样我们就得到另外两个公式：sintan21cos1costan.2sin；以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式.122322.4（）左边角是右边角的一半.（）左边是的三角函数一次式，右边是含有的三角函数的根式.（）根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号（）有理式，余弦和式在分母，差式在分子.1.半角公式的特征与记忆：2.半角公式的作用：（1）半角公式的作用在于用单倍角的三角函数来表达半角的三角函数，它适用于单倍角与半角的三角函数之间的互化问题.（2）半角公式是从二倍角公式中，将用代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍角公式.23、关于公式的几个说明：（1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立，对于正切的半角公式21().kkZ半角公式不仅可运用于将作为的半角的情况，还可以运用于诸如将作为的半角；将作为的半角;将作为的半角；将作为的半角（等情况）等式中的“半角”的意义是相对的，如：.2242334222α例2　已知，，求的值73cos,2252sin,cos,tan.222α33,2.224711cos325sin2225因为，故，运用半角公式，，解有，711cos425cos22253sin352tan.424cos25点评：看清角的取值范围，记住公式的结构形式.2221cossin,221coscos,221costan21cos引申：公式变形：1.降幂升角公式2.升幂降角公式2221cos2sin,21cos2cos,21costan.1cos222332,,2224125cos2-1sin211313511cos2313tan.12sin2213因为故是的一半，运用半角公式，有，所以解例　已知，求1232sin22,tan.132例3例4　利用二倍角公式证明：，，22222tan1tan2tan222sincostan.1tan1tan1tan2222222sincos22sin2sincos2212sincos2tan222sincos1tan222证明：，22222222222cossin22coscossin221cossin1tan222cossin1tan2222tan2tan.1tan2=，+该组公式又叫万能公式，意思为，，均可以用来表示　sincostantan.2例　已知，求证：5tantantantantantan.ABCkABCABCtan1tantantantan1tantantan证左边明：ABABCkCABC2(Z)tan21tantantantan1tantantantan1tantantantantantan当时，左边右边.knnnCABCCABCCABCABC21(Z)tan21tantantantan1tantantantan1tantantantantantan当时，左边右边knnnCABCCABCCABCABC1.当时，有，可以把,,看作是一个点三评：角形的三个内角kABCABC三角恒等式的证明:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从繁到简.(2)左右归一，即证左右两边等于同一个式子.(3)分析法,从结论出发,推理之后即证一个显然成立的式子或已知条件.(4)也可证＝1或左－右＝0.(5)在证明的过程中注意一些技巧的应用:公式逆用,变形;角的变化;常值代换(1=tan45°=sin2x+cos2x);切化弦.(6)有些问题需要分类给出证明.提升总结左右变式练习：证明22(1)cos(1tan)cos2;(2)sin(1cos2)sin2cos.22sin(12cos1)2sincossin2cos（2）左边右边,所以，等式成立.22222sincos(1)cossincoscos2证明:（1）左边右边,所以，等式成立.=1=cos=acosb1.设向量（，）与向量（-1,2cos)垂直，则2（）A.B.C.D.221201C2.(2014·安徽示范高中检测)若sin(π－α)＝－53，且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2＝()A．－63B．－66C.66D.63B3.(2013·新课标全国高考)已知，则（）A.B.C.D.2sin232cos()413122316解:2211sin213cos()4226所以21cos2()1cos(2)1sin242cos()4222因为Acos20cos40cos60cos80;sin10sin30sin50sin70.4.化简：（1）（2）sin20cos20cos40cos60cos80sin201sin40cos40cos60cos802sin201sin80cos60cos801sin160cos604sin208sin20解:（1）原式1sin1601.16sin2016sin10cos10cos20sin30cos40cos101sin20cos20sin30cos402cos101sin40sin30cos404cos101sin80sin301.8cos1016（2）原式2tan()3sin22cos.45.已知：，求的值解法1：tan()34因为1tan,31tan所以1tan.2解得于是2sin22cossin2cos212222tan1tan11tan1tan4341.555例4的结论2222sin22cossin2cos211tan()2tan()4411tan()1tan()44192341.19195解法2：333sin3coscos3sinsin4.46.求证：所以，原式成立.22sin3coscoscos3sinsin1cos21cos2sin3coscos3sin221(sin3coscos3sin)21cos2(sin3coscos3sin)2113sin4cos2sin2sin4224证明:左边右边,1．公式的特点：尤其是“倍角”与“半角”的意义是相对的，如：是的半角４2．熟悉“半角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切5．注意公式的结构，尤其是符号.2..22..当你追求幸福时，幸福往往逃避你；但当你逃避幸福，幸福却又常常跟随你.——海伍德