第十二章理论力学

第十二章动能定理§12-1力的功一、常力在直线位移上所做的功：力在它的作用点产生的直线位移上的积累；sFsFWcosFs二、变力在曲线位移上所做的功：可以认为是无限个常力在直线位移上所做的功的积分：δdWFr元功)(t0t221112δ·dMMMMWWFr力在空间上的积累；三、作用在物体上的外力所做的功：1、主动力：1）集中力的功：2）集中力偶的功：21MMrdFW21MMdMW2、约束力：1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：Fs做功均为零；2）滑动摩擦力的功：（1）静滑动摩擦力的功：为零；（2）动滑动摩擦力的功：不为零；如：只滚不滑；sF做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰链、静滑动摩擦力等；做功不为零的约束称为非理想约束：动滑动摩擦力；四、物体内任意两点间的内力所做的功：1、变形体的内力所作的功不为零（因为变形体内的任意两点间的距离会发生改变）；2、刚体的内力所作的功等于零（因为任意两点间的距离不会发生改变）；§12-2质点和质点系的动能一、质点的动能：212iiTmv212Tmv二、质点系的动能：三、刚体的动能：1、平移刚体的动能：222212121CiCiMvmvvmTi2、定轴转动刚体的动能：22222221212121ZiiiiiiJrmrmvmT3、平面运动刚体的动能：222121CCJmvT§12-3动能定理质点、质点系的动能变化等于其所受到的所有外力和内力所做的功的总和；一、质点、质点系的动能定理（证明略）：21iTTW二、刚体的动能定理：21iTTW刚体的动能变化等于其所受到的所有外力所做的功的总和；例12-1已知：轮O：R1，m1，质量分布在轮缘上;均质轮C：R2，m2，纯滚动,初始静止;θ、M为常力偶。求:轮心C走过路程s时的速度和加速度；解:取整体进行分析：1、受力分析：如图；2、运动分析：轮O：定轴转动；轮C：平面运动；3、建立动力学关系---动能定理：1212TTW01（初始时刻）T222222111222221111()()2222TmRmvmR时）转过（当轮O2T122sinWMmgs且；；1212,CCvvRR1sR∴21112(sin)2(23)CMmgRsvRmm2212sin(23)4CvMmgsmm)(a1sRM求轮心C的加速度：将式(a)两端对t求导,得：12211(23)sin2CCCCvmmvaMmgvR211212(sin)(23)CMmgRammR21OO已知:,均质;杆m均质,=l,M=常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止.21OO1r1m例12-2求:转过φ角的;,取整体进行分析：1、受力（主动力）分析：如图；2、运动分析：轮（太阳轮）：静止；杆：定轴转动；轮（行星轮）：平面运动；解:2O1O21OO3、建立动力学关系---动能定理：1212TTW01（初始时刻）T2211201222)2(2121)3(211rmmmlT时）转过（当杆212OOTMW12；1101011,rlrl且∴21)92(12lmmM221)233(21lmmM)(a求轮心C的加速度：将式(a)两端对t求导,得：21)92(6lmmM§12-6普遍定理的综合应用一、普遍定理：质点、质点系的动力学普遍定理包括：动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理；二、三个普遍定理的优缺点：动量定理（质心运动定理）、动量矩定理：优点：能解决动力学两类问题；缺点：矢量形式，复杂、求解时需分解为标量式；动能定理：优点：标量形式，简单；缺点：只能求解动力学第二类问题；三、普遍定理的综合应用：通常先使用动能定理求解动力学第二类问题（求解运动），然后再使用动量定理（质心运动定理）和动量矩定理求解动力学第一类问题（求解约束反力）；已知：塔轮质量，大半径，小半径，对轮心C的回转半径，质心在几何中心C。小半径上缠绕无重细绳，绳水平拉出后绕过无重滑轮B悬挂一质量为的重物A。kg200mkg80Ammm600Rmm300rmm400CCRBAPr例12-3求：若塔轮和水平地面间为纯滚动，试求C点的加速度、绳的张力和静摩擦力；此题既涉及动力学第二类问题（求解运动），又涉及动力学第一类问题（求解约束反力）。因此可以用普遍定理的综合应用方法来进行求解：即先使用动能定理求解动力学第二类问题（求解运动），然后再使用动量定理（质心运动定理）和动量矩定理求解动力学第一类问题（求解约束反力）；解:一、先使用动能定理求解动力学第二类问题（求解运动）：取整体进行分析：1、受力分析：如图；2、运动分析：物块A：平动；轮B：定轴转动；轮C:平面运动；3、建立动力学关系---动能定理：1212TTW2222212121AACCvmJmvT01TgsmWA12其中：RvC)(rRvARaC)(rRaA)()()(212222arRmRmgsmACA222)()(rRmRmgvmACAA将式(a)两端对t求导,得：222m/s269.1m/s635.0rad/s115.2CAaa∴求C点的加速度：1、研究重物A：1）受力分析：如图；2）运动分析：平动；3）建立动力学关系---质心运动定理:TAAFgmam二、再使用动量定理（质心运动定理）和动量矩定理求解动力学第一类问题（求解约束反力）：N733TF2、研究塔轮：1）受力分析：如图；2）运动分析：平面运动；3）建立动力学关系---平面运动微分方程：（质心运动定理+动量矩定理）FFmaTC1TTFF1N499F且