06高数第六章

高等数学第六章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分学基本定理第三节定积分的换元法和分部积分法第四节广义积分基本要求：了解反常积分的审敛法；熟悉定积分的概念、几何意义、微积分的基本公式；掌握定积分的运算。重点：定积分的定义；牛顿-莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法。难点：积分上限函数及其求导方法；广义积分的计算。一、引入定积分概念的两个实例设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、Y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.如何计算其面积？abxyoy=f(x)x=bx=a第一节定积分的概念与性质1.曲边梯形的面积1xix1ix-ayo解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点0121nnaxxxxxb-==],[1iiixx用直线ixx=将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得1()()iiiiiiAfxxxxx-D籇D=-i],[1iixx3)求和.11niiAA-==Då1()niiifxx=籇å4)取极限.令则曲边梯形面积01limniiAAl®==Då01()limniiifxlx®==Dåayo1xix1ixiix1ix1xi2x元素法1化整为零2以直代曲(以常代变)iiixfS)(3积零为整yxoy=f(x)1nxniiixfS1)(ab.分法越细，越接近精确值1.曲边梯形的面积f(i)ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细ab..分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfS1)(iiixfS)(f(i)ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfS1)(iiixfS)(f(i)01lim()niiifxlx®=DåS=.Sab2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:T1=t0t1t2***tn-1tn=T2,tititi+1;(2)近似:物体在时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为Siv(i)ti(ti1iti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{t1,t2,,tn},物体所经过的路程为niiitvS10)(lim上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程01lim()niiiSxflx®==Då许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.(i1,2,,n),niiixf1)(作和max{x1,x2,,xn};在小区间[xi1,xi]上任取一点i记xi=xi-xi1(i1,,n),个分点:ax0x1x2xn1xnb;设函数f(x)在区间[a,b]上有界.极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和i的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为badxxf)(niiibaxfdxxf10)(lim)(即二、定积分的定义在区间[a,b]内插入n-1如果当0时,上述和式的此时称f(x)在[a,b]上可积.()dbafxx=ò01lim()niiifxlx®=Då积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即()dbafxxò()dbaftt=ò()dbafuu=ò2.函数的可积性定理1:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2:如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.1.定积分的定义根据定积分的定义曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21niiibaxfdxxf10)(lim)(三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A12345()dbafxxAAAAA=-+-+ò各部分面积的代数和解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为nixi(i12n1)nxi1(i12n)niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniiinixi(i12n1)nxi1(i12n)niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nnniiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nnniiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii例1.利用定义计算定积分取,作积分和),2,1(ninii因为n1当0时n所以解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例2用定积分的几何意义求211121)1(10dxx211121)1(10dxx211121)1(10dxx211121)1(10dxx两点规定四、定积分的性质性质1性质2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立(1)当ab时0)(badxxf(2)当ab时abbadxxfdxxf)()(±±bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([babadxxfkdxxkf)()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质4推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则推论2这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以即babadxxfdxxf|)(||)(||badxxf0)((ab)babadxxgdxxf)()((ab)babadxxfdxxf|)(||)(|(ab)bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点,使下式成立这是因为,由性质5变形得由介值定理,至少存在一点[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.baMdxxfabm)(1baabMdxxfabm)()()((ab)baabfdxxf))(()(badxxfabf)(1)(性质5性质6注:•可把故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因)(d)(fabxxfbaabxxfbad)(nabfabniin×)(lim11)(1lim1niinfn性质7abdxdxbaba1解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3估计积分的值3013sindxxp+ò.)()(babadttfdxxf且存在则有定积分上可积在若badxxfbaf)(,],[因而有上可积在,],[xaf存在],[baxxadttf)(定义],[,)()(],[)(baxdttfx，baxfxa则上可积在设称为变上为自变量的函数定义了一个以积分上限，x.或积分上限函数限的定积分，.],[,)()(称为变下限的定积分类似地baxdttfx，bx.与统称为变限积分第二节微积分学基本定理一、积分上限函数及其导数定理1上在则可变上限积分上连续在若],[],[ba，baf且处处可导，].,[),()()(baxxfdttfdxdxxa分析:前提)()(],[)(],['xfxbaxbaf可导且在连续在只须).(lim],[0xfxbafx连续在[,]0[,]abxxxxab对上任一确定的当且时[,],[,].xabfab由在上的任意性故是在上的一个原函数()()()()xxxaaxxxftdtftdt().xxxftdt由变上限积分的定义1()(),01.xxxftdtfxxxx由积分第一中值定理00limlim()().xxfxxfxx,fx由于在点连续故有()()().xxxfx所以在可导且要性微积分学基本定理的重(i)解决了原函数的存在性问题(ii)沟通了导数与定积分之间的内在联系(iii)为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出:上的连续函数一定存在原函数,且],[ba是的一个原函数这一基本结论.)(x)(xf为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学基本定理.)(x定理指出是的一个原函数,而又是变上限)(xf)(x积分,故()(),()()baaabfxdxafxdx()()().bafxdxba比较变速直线运动中).()()(aSbSdttVba).()()(abdxxfba共同点:等式左端同是[a,b]上的定积分,等式右端又都是原函数在[a,b]上的增量.定理3上的在是且上连续在若函数],[)()(,],[baxfxFbaf则一个原函数，baaFbFdxxf).()()(分析:前提条件.)()2(,)()1(],[存在原函数存在连续在xfdxxfbafba.)(就是它的一个原函数xadttf二、牛顿—莱布尼茨公式证明:连续在因为],[)(baxf的一个原函数是故)()(xfdttfxa，xfxF的原函数是又)()().(0)(aFCdttfa，xaa得到则由在上式中令移项得).()()(aFxFdttfxa即得令b，x).()()(aFbFdxxfba此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式常表示为()()bbaafxdxFx.)()(CdttfxFxa所以例1求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法