1.3.2函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数主题一函数极值的概念观察图象回答下面问题1．函数在点x＝a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？提示：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.2．f′(a)等于多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？提示：f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在点x＝b处的情况呢？提示：函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.结论：极大(小)值的概念(1)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且__________,在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，则a叫做极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(a)＝0f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且__________,在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则b叫做极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.f′(b)＝0f′(x)＞0f′(x)＜0【微思考】1.函数的极值可以在区间端点处取得吗？提示：不可以，因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况，况且端点处的导数不一定为0.2.当f′(x0)=0时，x=x0是否一定为y=f(x)的极值点？提示：不一定，只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.3.函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.【预习自测】1.函数y＝f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为()A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系，可知选项D正确.2.(2016·陕西高考)设函数，则()A.为f(x)的极大值点B.为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点2fxlnxx1x21x2【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，.当x=2时，f′(x)=0；当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数，所以x=2为函数f(x)的极小值点.2221x2fxxxx3.如图是导函数y=f′(x)的图象，函数y=f(x)的极大值点是,极小值点是.【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方，导数为正，在点x2右侧附近导数图象在x轴下方，导数为负，故点x2为极大值点，因为在点x4左侧导数图象在x轴下方，导数为负，在点x4右侧附近导数图象在x轴上方，导数为正，故点x4为极小值点.答案：x2x4主题二求函数的极值【典例1】求函数的极值.【解析】函数的定义域为(0,+∞)，且,令f′(x)=0，得x=e，lnxfxxlnxfxx21lnxfxx当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：故当x=e时，函数取得极大值，无极小值.1ex(0,e)e(e,+∞)f′(x)+0-f(x)1fee【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)定区间求导：确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)解方程：求方程f′(x)=0的根.(3)列表：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.(4)检测判断：检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【巩固训练】1.求函数的极值．【解析】函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．，令y′＝0，得x＝±2.8y2xx＝＋28y2x＝－当x变化时，y′,y的变化情况如下表：由表知：当x＝－2时，y极大值＝－8；当x＝2时，y极小值＝8.x(－∞，－2)－2(－2,0)(0,2)2(2，＋∞)y′＋0－－0＋y单调递增－8单调递减单调递减8单调递增【课堂小结】1.知识总结