变化的快慢与变化率

引言为了描写运动变化着的现象，我们引入了函数，刻画静态的数与动态的函数都是数学中很重要的概念，随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。而导数，是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。本章我们将讨论导数的产生及其运算。问题：物体从某一时刻开始运动，设表示此物体经过时间走过的路程，显然是时间的函数，表示为。在运动过程中，测得如下数据：sstt)(tss物体在0~2s和10~13s这两段时间内，哪一段时间运动得快？分析：比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画。在0~2s内，平均速度为：)/(30206sm在10~13s内，平均速度为：)/(10132032sm4显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些。从时间到时，物体的路程从变为，这段时间内的平均速度为：0t1t)(1ts)(0ts0121)()(tttstsv用一段时间内物体的平均速度来刻画物体运动的快慢tsv记为函数值变化量，记作△s自变量变化量，记作△t某病人吃完药，他的体温变化如图示：Cy/min/x比较时间从0到20min和从20到30min体温的变化情况，那段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？x分析：时间从0变到20min时，单位时间的体温平均变化率为：从20变到30min时，平均变化率为：min)/(025.0020395.38Cmin)/(05.000.338C2358显然，绝对值大，下降的越快，即后一段时间降得快。用一段时间内体温的平均变化率刻画体温变化的快慢时间从变为时，体温从变为，0x1x)(1xy)(0xy体温的平均变化率0101)()(xxxyxyxy函数值变化量△y自变量变化量△x概括1212)()(xxxfxfxy自变量的改变量函数值的变化量函数，自变量从变为时，函数的平均变化率为：1x2x)(xf我们用它来刻画函数在区间上，函数值变化的快慢。],[21xx实际中，我们还要考虑物体的瞬间速度，如汽车在某时刻的速度，它与平均速度有关系么？例1一小球从高空自由落下，其路程s与时间t的函数关系为试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。)/8.9(,2122smggts分析：由公式可知：从5s到6s球的平均速度为：)/(6.5315.1224.176smtsv954.49.50.4949.0490.04949.00490.004949.00049为提高精确度，可以将时间间隔缩小至0.1，0.01，0.001…当时间时，平均速度stt50趋近于1smv/49趋近于所以小球在的瞬时速度为。st50sm/49即：若球保持这一刻的速度运动，每秒将运动。m49例2一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m，x表示OX这段棒的长，y表示OX这段棒的质量，它们满足关系：xxfy2)(估计合金棒在x=2m处的线密度。分析：长度质量平均线密度我们用到的平均线密度来估计处合金棒的线密度。20x31x2x)/(636.01828.2464.323)2()3(mkgffxy同样地，为了提高精确度，可取原长度的，，，……101100110001所取长度越小，则平均线密度就越接近合金棒在m处的线密度。2x解：时趋近于mxx201mkg/.710趋近于平均线密度（）则合金棒在m处的线密度为。mkg/.7102x（）概括思考：瞬时变化率与平均变化率有什么关系？？瞬时变化率平均变化率逼近对于函数，在自变量从变到时，函数的平均变化率为：x0x1x)xfy(xxfxxfxxxfxfxy)()()()(0001010趋近于x时，平均变化率就趋于函数在处0x的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快慢。动手做一做1.求在到之间的平均变化率。322xxy4922.求在到之间的平均变化率。)0(1xxy0xxx0st3.一物体作直线运动，其位移与时间的函数关系是，求此物体到时的平均速度和时刻的瞬时速度。23tts0t2t2t1212)()(xxxfxfxy自变量的改变量函数值的变化量＊函数的平均变化率：)(xf刻画在区间上，函数值变化的快慢。],[21xx0趋近于x时，平均变化率就趋于函数在处0x的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快慢。＊函数在处的瞬时变化率：)(xf0x