变化的快慢与变化率课件

§1变化的快慢与变化率树高:15米树龄:1000年高:15厘米时间:两天实例1分析银杏树雨后春笋实例2分析物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.t(秒)025101315…s(米)069203244…物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内，哪一段时间运动得更快？实例3分析时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线(3月18日为第一天)抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.温差15.1℃温差14.8℃气温变化曲线[问题]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)f(1)f(34)(34)(1)341ff[问题]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为在区间[1，x1]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)x1f(x1)f(1)f(34)11()(1)1fxfx(34)(1)341ff[问题]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为在区间[1，x1]上的平均变化率为在区间[x2，34]上的平均变化率为o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)11()(1)1fxfx22(34)()34ffxx(34)(1)341ff你能否类比归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？归纳概括1平均变化率的定义:2121()()fxfxxx一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx=△xx2-x1xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))0f(x2)-f(x1)=△y2121()()fxfxyxxx2平均变化率的几何意义：曲线上两点连线的斜率.()yfx11(,())xfx、22(,())xfx一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.婴儿出生后，体重的增加是先快后慢实际意义T(月)W(kg)63123.56.58.61106.53.5130118.60.4126解：婴儿从出生到第3个月的平均变化率是：婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是：数学应用1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平均变化率.3.变式二:函数f(x):=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率.2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率.答案：都是2答案：还是2答案：是k一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区间[m,n](mn)上的平均变化率等于k.一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率探索思考4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.答案：是0一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率探索思考平均变化率的缺点:y1C3C2CxO1x2xAB它不能具体说明函数在这一段区间上的变化情况.回顾小结:1平均变化率的定义:2121()()fxfxxx一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx=△xx2-x1xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))0f(x2)-f(x1)=△y2121()()fxfxyxxx2平均变化率的几何意义：曲线上两点连线的斜率.()yfx11(,())xfx、22(,())xfx探索思考5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间[1，3],[1，2],[1，1.1],[1，1.01],[1，1.001]上的平均变化率.答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、2.1、2.01、2.001规律：当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.一般地,函数在区间上的平均变化率为:()fx12[,]xx2121()()fxfxxx平均变化率[例1]已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[思路点拨]先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．[精解详析](1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.0802，Δx＝2.01－2＝0.01，∴ΔyΔx＝0.08020.01＝8.02.(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴ΔyΔx＝2Δx2x0＋ΔxΔx＝4x0＋2Δx.[一点通]求函数f(x)平均变化率的步骤是：(1)求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)求自变量的改变量：Δx＝x2－x1；(3)作商：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x1＝2，x2＝2.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.答案：B[例2]已知s(t)＝5t2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．[精解详析](1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴ΔsΔt＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)，＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，∴ΔsΔt＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)．(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt0)，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴ΔsΔt＝5Δt6＋ΔtΔt＝30＋5Δt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于30.∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.